第三章 导数及其应用 3 ． 1 变化率与导数3 ． 1.1 变化率问题【课标要求】 1．通过实例分析、了解函数平均变化率的意义． 2．会求函数f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率． 3．掌握求函数f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率的方法与步骤． 【核心扫描】 1．求函数f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．(重点) 2．理解实际问题中的平均变化率．(难点) 2．平均变化率的计算公式 自变量的改变量Δx＝x2－x1 ↓ 函数的改变量Δy＝y2－y1＝f(x2)－f(x1) ＝f(x0＋Δx)－f(x0) ↓ ΔyΔx＝y2－y1x2－x1＝f（x2）－f（x1）x2－x1＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx 想一想：1.函数y＝f(x)在[x1，x2]内的平均变化率为0，能否说明函数y＝f(x)没有发生变化？ 提示 不能说明．理由：函数的平均变化率只能粗略地描述函数的变化趋势，增量Δx取值越小，越能准确地体现函数的变化情况．在某些情况下，求出的平均变化率为0，并不一定说明函数没有发生变化．如函数f(x)＝x2在[－2，2]上的平均变化率为0，但f(x)的图象在[－2，2]上先减后增． 2．平均变化率 ΔyΔx ＝ f（x0＋Δx）－f（x0）Δx中，Δx、Δy的值是否可为任意实数？ 提示 否．Δx、Δy的值可正、可负，但Δx的值不能为0，Δy的值可以为0. 名师点睛 1．关于平均变化率的理解 关于函数的平均变化率，应注意以下几点： (1)Δx 是自变量 x2 相对于 x1 处的改变量，且 x2 是 x1 附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx 可以为正，也可以为负． (2)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)． (3)在公式ΔyΔx＝f（x2）－f（x1）x2－x1＝f（x1＋Δx）－f（x1）Δx中，当x1 取定值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特别地，当函数 f(x)为常数函数时，Δy＝0，则ΔyΔx＝0. 2．一般地，现实生活中的变化现象和过程可以用函数来描述，所以这些实际问题的变化率问题可以转化为函数的变化率． 3．理解平均变化率要注意以下几点： (1)平均变化率f（x1）－f（x0）x1－x0表示点(x0，f(x0))与点(x1，f(x1))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”． (2)为求点 x0 附近的平均变化率，上述表达式常写为f（x0＋Δx）－f（x0）Δx的形式． (3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx ...
