高中数学 232(数学归纳法应用举例)课件 新人教B版选修2-2 课件VIP免费

2.3.2 数学归纳法应用举例 例 1 ．用数学归纳法证明： 2222(1)(21)1236n nnn证明：（ 1 ）当 n=1 时，左边 =1 ，右边=1 ，等式成立；（ 2 ）假设当 n=k 时，等式成立，即2222(1)(21)1236k kkk 那么 222222(1)(21)123(1)(1)6k kkkkk22(1)(21)6(1)(1)(276)66(1)((2)(23)(1)[(1) 1][2(1) 1]66k kkkkkkkkkkkk 这就是说，当 n=k+1 时，等式也成立， 由（ 1 ）和（ 2 ）可以断定，等式对任何 n∈N+ 都成立。 例 2 ．证明：平面上 n 个圆最多把平面分成 n2 － n+2 个区域。证明：（ 1 ）一个圆将平面分成 2 个区域，而当 n=1 时， n2 － n+2=2 ，因此结论当 n=1 时成立；（ 2 ）假设当 n=k 时，结论成立，即 k 个圆最多把平面分成 k2 － k+2 个区域。 在此基础上，为使区域最多，应使新增加的圆与前 k 个圆都交于两点，于是新增2k 个交点， 这 2k 个交点将新圆分成 2k 段弧，这 2k段弧将所经过的区域一分为二，因此新增 2k 个区域，这样 k+1 个圆最多把平面分成(k2 － k+2) +2k=(k+1)2 － (k+1)+2 个区域， 这就是说，当 n=k+1 时，结论也正确， 由（ 1 ）和（ 2 ）可以断定，结论对任何 n∈N+ 都正确。 例 3 ．求证：当 n≥5 时， 2n>n2 ，证明：（ 1 ）当 n=5 时， 25=32 ， 52=25 ，因此 25>52 ，即 n=5 时，结论正确；（ 2 ）假设当 n=k(k≥5) 时，这个命题是正确的，那么由 2k>k2 得1222 22kkk   222521(1)kkkkk ≥这就是说，当 n=k+1 时，命题也是正确的 . 由（ 1 ）和（ 2 ）可以断定，这个命题对于所有大于或等于 5 的正整数 n 都正确。 例 4 ．求证：凸 n 边形的对角线的条数为(3)( ),(4)2n nf nn≥证明：（ 1 ）当 n=4 时，四边形的对角线有 2 条， f(4)=2 ，所以对于 n=2 ，命题成立 .（ 2 ）设凸 k 边形的对角线的条数为(3)( ),(4)2k kf kk≥当 n=k+1 时， k+1 边形比 k 边形多了一个顶点 , 该顶点与原 k 边形中的 (k － 2) 个顶点可连成 (k － 2) 条对角线，而原来的一条边也变成对角线，故 (k+1) 边形比 k 边形增多了(k － 1) 条对角线 ,所以 (3)(1)(1)2k kf kk22322222kkkkk(1)[(1)3]2kk 即 n=k+1 时，命题成立。由（ 1 ）、（ 2 ）可知，凸 n 边形的对角线的条数为(3)( ),(4)2n nf nn≥ 例 5 ．求证当 n 为正奇数时 7n+1 能被 8整除 .证明： (1) n=1 时， 71+1=8 能被 8 整除；(2) 假设 n=k (k 为正奇数 ) 时 7k+1 能被 8整除 ( 设 7k+1=8M ， M∈N)则当 n=k+2 时， 7k+2+1=72·7k+72 － 72+1=72(7k+1) － 48 =49×8m － 8×6 =8(49M － 6)∵49M － 6∈N ∴ 命题成立 由（ 1 ）、（ 2 ）可知当 n 为正奇数时7n+1 能被 8 整除．