高考数学 61. 巧用三角函数定义快速解题总复习课件VIP专享VIP免费

备课资讯6 巧用三角函数定义快速 解题 三角函数的定义是整个高中三角知识体系的基 础，运用三角函数的定义，我们可以很容易地得出 三角函数的一些基本性质和基本关系．实际上，三 角函数的定义，在求解有关同一个角的三角函数的 问题中，也有着十分广泛的应用． 一、利用三角函数的定义求三角函数的值 【例1】 已知sinθ－cosθ＝12，求sin3θ－ cos3θ的值． 证明 设角θ的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则有x2＋y2＝1.由三角函数的定义，已知等式即为y－x＝12， 两边平方，得y2＋x2－2xy＝14. x2＋y2＝1，∴xy＝38. 于是有sin3θ－cos3θ＝y3－x3＝(y－x)(y2＋x2＋xy) ＝12×1＋38 ＝1116. 点评 对于本题，我们习惯上是运用同角三角函数 的基本关系式，通过三角恒等变形的方法来解决， 这里，我们运用三角函数的定义，将三角问题转化 为代数问题，不仅令人感到思路简捷自然，解法别 开生面，而且有利于加深对三角函数概念的认识和 理解，增强运用定义解题的意识，培养灵活解题的 能力． 【例 2】已知α 的终边经过点 P0(－3，－4)，求 2sin α ＋cos α 的值． 解析 如图，设角α 的终边与单位圆交于点P(x， y)，分别过点P，P0作x轴的垂线M P，M 0P0，则结 合已知条件可得：|OP0|= ＝5， |M 0P0|＝4，|M P|＝－y，|OM 0|＝3， |OM |＝－x. 由△OM P∽△OM 0P0，得 22)4()3(,54||||||||1sin0OPMPOPMPyycos α ＝x＝x1＝－|OM ||OP|＝－|OM 0||OP0|＝－35， ∴2sin α ＋cos α ＝2×－45 ＋－35 ＝－115 . 点评 一般地，若已知角α 的终边上一点P(x，y)， 记r＝x2＋y2，根据三角函数的定义，容易证明： sin α ＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx，从而可以十分 方便地解答有关三角函数的求值问题． 二、利用三角函数的定义化简三角函数式 【例3】 化简1cos α·1＋tan α ＋tan α ·1sin2α－1(其中α 为第四象限的角)． 解析 设角α 的终边与单位圆的交点为P(x，y)， 则有x2＋y2＝1.由三角函数的定义，得 1cos α·1＋tan α ＋tan α ·1sin2α－1 ＝1x·1＋yx2＋yx·1y2－1 ＝1x x2＋y2x2＋yx 1－y2y2 ＝1x· 1|x|＋yx·|x||y|. α 为第四象限的角，∴x>0，y<0， ∴原式＝1x2－1＝1－x2x2 ＝yx2＝tan2α . 点评 运用三...