备课资讯6 巧用三角函数定义快速 解题 三角函数的定义是整个高中三角知识体系的基 础,运用三角函数的定义,我们可以很容易地得出 三角函数的一些基本性质和基本关系.实际上,三 角函数的定义,在求解有关同一个角的三角函数的 问题中,也有着十分广泛的应用. 一、利用三角函数的定义求三角函数的值 【例1】 已知sinθ-cosθ=12,求sin3θ- cos3θ的值. 证明 设角θ的终边与单位圆的交点为P(x,y),则有x2+y2=1.由三角函数的定义,已知等式即为y-x=12, 两边平方,得y2+x2-2xy=14. x2+y2=1,∴xy=38. 于是有sin3θ-cos3θ=y3-x3=(y-x)(y2+x2+xy) =12×1+38 =1116. 点评 对于本题,我们习惯上是运用同角三角函数 的基本关系式,通过三角恒等变形的方法来解决, 这里,我们运用三角函数的定义,将三角问题转化 为代数问题,不仅令人感到思路简捷自然,解法别 开生面,而且有利于加深对三角函数概念的认识和 理解,增强运用定义解题的意识,培养灵活解题的 能力. 【例 2】已知α 的终边经过点 P0(-3,-4),求 2sin α +cos α 的值. 解析 如图,设角α 的终边与单位圆交于点P(x, y),分别过点P,P0作x轴的垂线M P,M 0P0,则结 合已知条件可得:|OP0|= =5, |M 0P0|=4,|M P|=-y,|OM 0|=3, |OM |=-x. 由△OM P∽△OM 0P0,得 22)4()3(,54||||||||1sin0OPMPOPMPyycos α =x=x1=-|OM ||OP|=-|OM 0||OP0|=-35, ∴2sin α +cos α =2×-45 +-35 =-115 . 点评 一般地,若已知角α 的终边上一点P(x,y), 记r=x2+y2,根据三角函数的定义,容易证明: sin α =yr,cos α=xr,tan α=yx,从而可以十分 方便地解答有关三角函数的求值问题. 二、利用三角函数的定义化简三角函数式 【例3】 化简1cos α·1+tan α +tan α ·1sin2α-1(其中α 为第四象限的角). 解析 设角α 的终边与单位圆的交点为P(x,y), 则有x2+y2=1.由三角函数的定义,得 1cos α·1+tan α +tan α ·1sin2α-1 =1x·1+yx2+yx·1y2-1 =1x x2+y2x2+yx 1-y2y2 =1x· 1|x|+yx·|x||y|. α 为第四象限的角,∴x>0,y<0, ∴原式=1x2-1=1-x2x2 =yx2=tan2α . 点评 运用三...