2 . 2 双曲线2 . 2.1 双曲线及其标准方程【课标要求】 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. 2.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题. 【核心扫描】 1.用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程.(重点) 2.与双曲线定义有关的应用问题.(难点) 自学导引 1.双曲线的定义 把平面内与两个定点 F1、F2 的距离的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这 叫做双曲线的焦点, 叫做双曲线的焦距. 差的绝对值 两个定点 两焦点间的距离 试一试:在双曲线的定义中,必须要求“常数小于|F1F2|”,那么“常数等于|F1F2|”,“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时,动点的轨迹是什么? 提示 (1)若“常数等于|F1F2|”时,此时动点的轨迹是以 F1,F2 为端点的两条射线 F1A,F2B(包括端点),如图所示. (2)若“常数大于|F1F2|”,此时动点轨迹不存在. (3)若“常数为 0”,此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线. 2.双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准方程 x2a2-y2b2=1 (a>0,b>0) y2a2-x2b2=1 (a>0,b>0) 焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) a,b,c 的关系 c2= a2 + b2 想一想:如何判断方程x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)和y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)所表示双曲线的焦点的位置? 提示 如果 x2 项的系数是正的,那么焦点在 x 轴上,如果 y2 项的系数是正的,那么焦点在 y 轴上.对于双曲线,a 不一定大于 b,因此,不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上. 2.双曲线的标准方程 (1)只有当双曲线的两焦点 F1、F2 在坐标轴上,并且线段 F1F2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程. (2)标准方程中的两个参数 a 和 b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里 b2=c2-a2,与椭圆中 b2=a2-c2相区别,且椭圆中 a>b>0,而双曲线中 a、b 大小则不确定. (3)焦点 F1、F2 的位置,是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若 x2 项的系数为正,则焦点在 x 轴上;若 y2 项的系数为正,那么焦点在 y 轴上. (4)用待定系数法求双曲线的标准方程时,如不能确定焦点的位置,可设双曲线的标准方程为 Ax2+By2=1(AB<0)或进行分类讨论. 题型一 求双曲线的标准方程 【例 1】 根据下列条件,求双曲线的标准方...