2 ． 2 双曲线2 ． 2.1 双曲线及其标准方程【课标要求】 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 【核心扫描】 1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点) 自学导引 1．双曲线的定义 把平面内与两个定点 F1、F2 的距离的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这 叫做双曲线的焦点， 叫做双曲线的焦距． 差的绝对值 两个定点 两焦点间的距离 试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”，那么“常数等于|F1F2|”，“常数大于|F1F2|”或“常数为 0”时，动点的轨迹是什么？ 提示 (1)若“常数等于|F1F2|”时，此时动点的轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线 F1A，F2B(包括端点)，如图所示． (2)若“常数大于|F1F2|”，此时动点轨迹不存在． (3)若“常数为 0”，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线． 2．双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准方程 x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0) y2a2－x2b2＝1 (a>0，b>0) 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c 的关系 c2＝ a2 ＋ b2 想一想：如何判断方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)和y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)所表示双曲线的焦点的位置？ 提示 如果 x2 项的系数是正的，那么焦点在 x 轴上，如果 y2 项的系数是正的，那么焦点在 y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于 b，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 2．双曲线的标准方程 (1)只有当双曲线的两焦点 F1、F2 在坐标轴上，并且线段 F1F2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程． (2)标准方程中的两个参数 a 和 b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里 b2＝c2－a2，与椭圆中 b2＝a2－c2相区别，且椭圆中 a>b>0，而双曲线中 a、b 大小则不确定． (3)焦点 F1、F2 的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若 x2 项的系数为正，则焦点在 x 轴上；若 y2 项的系数为正，那么焦点在 y 轴上． (4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为 Ax2＋By2＝1(AB<0)或进行分类讨论． 题型一 求双曲线的标准方程 【例 1】 根据下列条件，求双曲线的标准方...
