本章优化总结专题探究精讲章末综合检测本章优化总结知识体系网络知识体系网络专题探究精讲分类讨论思想当问题所给的对象具有多种情况，不能用同一个结果表示时，要将对象分为不同种类，逐一进行研究解决．特别是给出的问题含有参数时，要根据参数的取值范围讨论问题的可能结果．例例 11 设球 O 的半径为 5 ，一个内接圆台的两个底面的半径分别为 3 和 4 ，求这个圆台的体积．【分析】 要注意分情况讨论，不要漏解．【解】 球心 O 到圆台两底面的距离分别为 |OM|＝52－42＝3，|ON|＝ 52－32＝4. 若圆台的两底面在球心的两侧(如图(1))，则圆台的高|MN|＝4＋3＝7. 所以圆台的体积为 V＝π3×7×(32＋3×4＋42)＝2593π. 若圆台的两底面在球心的同侧(如图(2))， 则圆台的高|MN|＝4－3＝1. 所以圆台的体积为 V＝π3×1×(32＋3×4＋42)＝373 π. 【点评】 利用轴截面可看出球内接圆台有两种情形，即圆台含球心或不含球心．化归与转化的思想化归与转化思想贯穿立体几何的始终，是处理立体几何问题的最基本的数学思想．例例 22 已知正方体 ABCD － EFGH 的棱长为 a ，点 P 在 AC 上，点 Q 在 BG 上， AP ＝ BQ ＝ a.求证： PQ⊥AD.【分析】 要证 PQ⊥AD ，可先证 AD 垂直于 PQ所在的平面 MPQ ，其中 M 是 BC 上的点．【证明】 作 QM⊥BC 于 M，连接 MP，则 QM∥GC， 因为 QM⊥BC，所以BQBG＝BMBC. 又因为 BQ＝a，BG＝ 2a， 所以BMBC ＝ 12. 又因为APAC＝ 12，所以BMBC ＝APAC. 所以 MP∥AB. 因为 AB⊥BC，所以 BC⊥MP. 因为 QM∩MP＝M，所以 BC⊥平面 MPQ.所以 BC⊥PQ. 又因为 BC∥AD，所以 AD⊥PQ. 【点评】 证明线线垂直，往往先转化成线面垂直． 如 图 是 正 方 体 的 表 面 展 开图， E 、 F 、 G 、 H 分别是棱的中点，试判断 EF 与 GH 在原正方体中的位置关系并加以证明．【分析】 先把展开图折成正方体，利用中点的性质和公理加以证明．例例 33【 解 】 将 展 开 图 还 原 为 正 方 体 ABCD －A1B1C1D1 ，则 E 、 F 、 G 、 H 分别是棱 A1D1 、A1B1 、 BC 、 DC 的中点，连接 B1D1 ， BD( 如图 ) ，则 EF∥B1D1 ， GH∥BD.又 BB1 、 D1D 是正方体的侧棱，∴BB1 綊 DD1 ，∴ 四边形 BB1D1D 是平行四边形，∴B1D1∥BD ，∴EF∥GH ，即 EF 与 GH 是平行关系．【点...
