高中数学 函数的单调性与导数优质课件(选修1 1) 课件VIP免费

一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系： 导数 函数的单调性 f′(x)>0 单调递 f′(x)<0 单调递 f′(x)＝0 常函数 增 减 探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系 问题 1 观察高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10 的图象，及 h′(t)＝－9.8t＋6.5 的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别. 答案 (1)从起跳到最高点，h 随 t 的增加而增加，即 h(t)是增函数，h′(t)>0； (2)从最高点到入水，h 随 t 的增加而减小，即 h(t)是减函数，h′(t)<0. 问题 2 观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数正负有何关系？ 答 (1)在区间(－∞，＋∞)内，y′(x)＝1>0，y(x)是增函数； (2)在区间(－∞，0)内，y′(x)＝2x<0，y(x)是减函数； 在区间(0，＋∞)内，y′(x)＝2x>0，y(x)是增函数； (3)在区间(－∞，＋∞)内，y′(x)＝3x2≥0，y(x)是增函数； (4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′(x)＝－1x2<0，y(x)是减函数. 小结 一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系： 在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果 f′(x)<0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递减. 问题 3 若函数 f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么 f′(x)一定大于零吗？ 答案 由问题 2 中(3)知 f′(x)≥0 恒成立. 问题 4 (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题 2 中(4)的单调区间. (2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？ 答案 (1)不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开.问题 2 中(4)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞). (2)函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集. 例 1 已知导函数 f′(x)的下列信息： 当 10； 当 x>4，或 x<1 时，f′(x)<0； 当 x＝4，或 x＝1 时，f′(x)＝0. 试画出函数 f(x)图象的大致形状. 解 当 10，可知 f(x)在此区间内单调递增； 当 x>4，或 x<1 时，f′(x)<0，可知 f(x)在此区间内单调递减； 当 x＝4，或 x＝1 时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”. 综上，函数 f(x)图象的大致形状如图所示. 小结 本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即...