第四部分 专题训练第 38 讲 动态专题（二） 1.（2010 广东）如图（1），（2）所示，矩形 ABCD 的边长 AB=6，BC=4，点 F 在 DC上，DF=2．动点 M、N 分别从点 D、B 同时出发，沿射线 DA、线段 BA 向点 A 的方向运动（点 M 可运动到 DA 的延长线上），当动点 N 运动到点 A 时，M、N 两点同时停止运动．连接 FM、FN，当 F、N、M 不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN 三边的中点作△PQW．设动点 M、N 的速度都是 1 个单位/秒，M、N 运动的时间为 x 秒．试解答下列问题： （1）说明△FMN∽△QWP； （2）设 0≤x≤4（即 M 从 D 到 A 运动的时 间段）．试问 x 为何值时，△PQW 为直角三角 形？当 x 在何范围时，△PQW 不为直角三角形？ （3）问当 x 为何值时，线段 MN 最短？求此时 MN 的值． 思路点拨：本题为二动点结合函数求最值类型题，主要利用了三角形相似判定与性质等知识求解． 第（1）题：由平行线的性质可得∠QPW=∠MNF，∠PQW=NFM，故有△FMN∽△QWP；第（2）题：当△FMN 是直角三角形时，△QWP 也为直角三角形，当 MF⊥FN 时，证得△DFM∽△GFN，有 DF：FG=DM：GN，得到 4-x=2x，求得 x 此时的值，当 MG⊥FN 时，点 M 与点 A 重合，点 N 与点 G 重合，此时 x=AD=4； 第（3）题：当点 F、M、N 在同一直线上时，MN 最短，设经过的时间为 x，AM 的长度为（4-x），AN 的长度为（6-x），再由△MAN∽△MBF 即可求出答案． ★ 课堂精讲★ 1.解：（1） PQ∥FN，PW∥MN，∴∠QPW=∠PWF， ∠PWF=∠MNF，∴∠QPW=∠MNF． 同理∠PQW=∠NFM，∴△FMN∽△QWP； （2）由于△FMN∽△QWP，故当△FMN 是直角三角形时，△QWP 也为直角三角形． 作 FG⊥AB，则四边形 FCBG 是正方形，有 GB=CF=CD-DF=4，GN=GB-BN=4-x，DM=x， ①当 MF⊥FN 时， ∠DFM+∠MFG=∠MFG+∠GFN=90°，∴∠DFM=∠GFN． ∠D=∠FGN=90°，∴△DFM∽△GFN，∴DF：FG=DM：GN=2：4=1：2， ∴GN=2DM，∴4-x=2x，∴x= 4/3； ②当 MG⊥FN 时，点 M 与点 A 重合，点 N 与点 G 重合， ∴x=AD=GB=4． ∴当 x=4 或 4/3 时，△QWP 为直角三角形，当 0＜x＜ 4/3， 4/3＜x＜4 时，△QWP 不为直角三角形． （3）①当 0≤x≤4，即 M 从 D 到 A 运动时， 只有当 x=4 时，MN 的值最小，等于 2； ②当 4＜x≤6 时，MN2=AM2+AN2=（x-4）2+（6-x）2...
