第四部分 专题训练第 38 讲 动态专题（二） 1
（2010 广东）如图（1），（2）所示，矩形 ABCD 的边长 AB=6，BC=4，点 F 在 DC上，DF=2．动点 M、N 分别从点 D、B 同时出发，沿射线 DA、线段 BA 向点 A 的方向运动（点 M 可运动到 DA 的延长线上），当动点 N 运动到点 A 时，M、N 两点同时停止运动．连接 FM、FN，当 F、N、M 不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN 三边的中点作△PQW．设动点 M、N 的速度都是 1 个单位/秒，M、N 运动的时间为 x 秒．试解答下列问题： （1）说明△FMN∽△QWP； （2）设 0≤x≤4（即 M 从 D 到 A 运动的时 间段）．试问 x 为何值时，△PQW 为直角三角 形
当 x 在何范围时，△PQW 不为直角三角形
（3）问当 x 为何值时，线段 MN 最短
求此时 MN 的值． 思路点拨：本题为二动点结合函数求最值类型题，主要利用了三角形相似判定与性质等知识求解． 第（1）题：由平行线的性质可得∠QPW=∠MNF，∠PQW=NFM，故有△FMN∽△QWP；第（2）题：当△FMN 是直角三角形时，△QWP 也为直角三角形，当 MF⊥FN 时，证得△DFM∽△GFN，有 DF：FG=DM：GN，得到 4-x=2x，求得 x 此时的值，当 MG⊥FN 时，点 M 与点 A 重合，点 N 与点 G 重合，此时 x=AD=4； 第（3）题：当点 F、M、N 在同一直线上时，MN 最短，设经过的时间为 x，AM 的长度为（4-x），AN 的长度为（6-x），再由△MAN∽△MBF 即可求出答案． ★ 课堂精讲★ 1
解：（1） PQ∥FN，PW∥MN，∴∠QPW=∠PWF， ∠PWF=∠MNF，∴∠QPW=∠MNF． 同理∠PQW=∠NFM，∴△FMN∽△QWP； （2）由于△
