§2.3 等差数列前 n 项和(二)对点讲练一、已知前 n 项和 Sn，求 an例 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝2n2－3n，求通项公式 an.分析 利用数列的通项 an与前 n 项和 Sn的关系 an＝.解 当 n＝1 时，a1＝S1＝－1，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝4n－5.又 a1＝－1，适合 an＝4n－5，∴an＝4n－5 (n∈N*)．总结 已知前 n 项和 Sn求通项 an，先由 n＝1 时，a1＝S1求得 a1，再由 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1求 an，最后验证 a1是否符合 an，若符合则统一用一个解析式表示．►变式训练 1 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n＋b，求 an.解 当 n＝1 时，a1＝S1＝3＋b.n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2·3n－1因此，当 b＝－1 时，a1＝2 适合 an＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1.当 b≠－1 时，a1＝3＋b 不适合 an＝2·3n－1，∴an＝.综上可知，当 b＝－1 时，an＝2·3n－1；当 b≠－1 时，an＝.二、等差数列前 n 项和最值问题例 2 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求 Sn的最大值．解 方法一 利用前 n 项和公式和二次函数性质．由 S17＝S9，得 25×17＋×(17－1)d＝25×9＋×(9－1)d，解得 d＝－2，所以 Sn＝25n＋(n－1)(－2)＝－(n－13)2＋169，由二次函数性质可知，当 n＝13 时，Sn有最大值 169.方法二 先求出 d＝－2，因为 a1＝25>0，由 得 所以当 n＝13 时，Sn有最大值．S13＝25×13＋×(－2)＝169.因此 Sn的最大值为 169.方法三 由 S17＝S9，得 a10＋a11＋…＋a17＝0，而 a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故 a13＋a14＝0.由方法一知 d＝－2<0，又因为 a1>0，所以 a13>0，a14<0，故当 n＝13 时，Sn有最大值．S13＝25×13＋×(－2)＝169.因此 Sn的最大值为 169.总结 在等差数列中，求 Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第 1 项起到该项的各项的和为最大(小)．由于 Sn为关于 n 的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．►变式训练 2 等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？解 方法一 由 S9＝S12，得 d＝－a1，由，得，解得 10≤n≤11.∴当 n 为 10 或 11 时，Sn取最小值，∴该数列前 10 项或前 11 项的和最小．方法二 由 S9＝S12，得 d＝－a1，由 Sn＝na1＋d＝n2＋n，得 Sn＝·n2＋·n＝－2＋a1 (a1<0)，由二次函...
