§2.4 等比数列对点讲练一、等比数列通项公式的应用例 1 已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式．分析 可根据条件先求出基本量 a1及公比 q，再写出通项公式．解 设等比数列{an}的公比为 q，则 q≠0.a2＝＝，a4＝a3q＝2q，∴＋2q＝.解得 q1＝，q2＝3.当 q＝时，a1＝18，∴an＝18×n－1＝2×33－n.当 q＝3 时，a1＝，∴an＝×3n－1＝2×3n－3.综上，当 q＝时，an＝2×33－n；当 q＝3 时，an＝2×3n－3.总结 等比数列的通项公式 an＝a1qn－1中有四个量 a1，q，n，an.已知其中三个量可求得第四个，简称“知三求一”．►变式训练 1 已知等比数列{an}，若 a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求 an.解 由等比数列的定义知 a2＝a1q，a3＝a1q2代入已知得，⇒⇒将 a1＝代入①得 2q2－5q＋2＝0，解得 q＝2 或 q＝.由②得或当 a1＝1，q＝2 时，an＝2n－1；当 a1＝4，q＝时，an＝23－n.二、等比数列性质的应用例 2 已知{an}为等比数列．(1)若 an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求 a3＋a5；(2)若 an>0，a5a6＝9，求 log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．分析 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q，则 aman＝apaq，利用这一性质可以化繁为简．解 (1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝25， an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.(2)根据等比数列的性质a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9.∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95.∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝5log39＝10.►变式训练 2 设{an}是由正数组成的等比数列，公比 q＝2，且 a1·a2·a3·…·a30＝215，求a2·a5·a8·…·a29的值．解 a1·a2·a3·…·a30＝(a1a30)·(a2a29)·…·(a15·a16)＝(a1a30)15＝215，∴a1a30＝2.a2·a5·a8·…·a29＝(a2a29)·(a5a26)·(a8a23)·(a11a20)·(a14a17)＝(a2a29)5＝(a1a30)5＝25＝32.三、等比数列的判断与证明例 3 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝(an－1) (n∈N*)．(1)求 a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．(1)解 由 S1＝(a1－1)，得 a1＝(a1－1)，∴a1＝－.又 S2＝(a2－1)，即 a1＋a2＝(a2－1)，得 a2＝.(2)证明 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，得＝－，又＝－，所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．总结 利用等比数列的定义＝q (q≠0)是判定一个数列是否是等比数列的基本方法．►变式训练 3 (2009·浙江文，20)设 Sn为数列{an}前...
