§2.2 等差数列对点讲练一、等差数列的通项公式例 1 若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求 a75.解 设{an}的公差为 d.方法一 由题意知解得所以 a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.方法二 因为 a60＝a15＋(60－15)d，所以 d＝＝＝，所以 a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.总结 方法一：先求出 a1，d，然后求 a75；方法二：应用通项公式的变形公式 an＝am＋(n－m)d 求解．►变式训练 1 在等差数列{an}中，已知 am＝n，an＝m，求 am＋n的值．解 方法一 设公差为 d，则 d＝＝＝－1，从而 am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0.方法二 设等差数列的通项公式为 an＝an＋b(a，b 为常数)，则 得 a＝－1，b＝m＋n.所以 am＋n＝a(m＋n)＋b＝0.二、等差数列的性质例 2 已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．解 因为 a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以 a4＝5.又因为 a2a4a6＝45，所以 a2a6＝9，即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得 d＝±2.若 d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；若 d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.总结 要求通项公式，需要求出首项 a1和公差 d，由 a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45 直接求解很困难，我们可以换个思路，利用等差数列的性质，注意到 a1＋a7＝a2＋a6＝2a4问题就简单了．►变式训练 2 成等差数列的四个数之和为 26，第二个数与第三个数之积为 40，求这四个数．解 设这四个数为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得∴ 解得或所以这四个数为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.三、等差数列的判断例 3 已知数列{an}满足 a1＝4，an＝4－ (n≥2)，令 bn＝.(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．分析 计算 bn＋1－bn＝常数，然后求出 bn，最后再由 an与 bn的关系求出 an.(1)证明 an＝4－ (n≥2)，∴an＋1＝4－ (n∈N*)．∴bn＋1－bn＝－＝－＝－＝＝.∴bn＋1－bn＝，n∈N*.∴{bn}是等差数列，首项为，公差为.(2)解 b1＝＝，d＝.∴bn＝b1＋(n－1)d＝＋(n－1)＝.∴＝，∴an＝2＋.总结 判断一个数列{an}是否是等差数列，关键是看 an＋1－an是否是一个与 n 无关的常数．►变式训练 3 若，，是等差数列，求证：a2，b2，c2成等差数列．证明 ，，是等差数列，∴＋＝.∴(a＋b)(c＋a)＋(b＋c)(c＋a)＝2(a＋b)(b＋c)∴(c＋a)(a＋c＋2b)＝2(a＋b)(b＋c)∴2ac＋2ab＋2bc＋a2＋c2＝2ab＋2ac＋2bc＋2b2∴a2＋c...
