§2.1 数列的概念与简单表示法(二)对点讲练一、利用函数的性质判断数列的单调性例 1 已知数列{an}的通项公式为 an＝.求证：数列{an}为递增数列．证明 an＝＝1－an＋1－an＝－＝＝.由 n∈N*，得 an＋1－an>0，即 an＋1>an.∴数列{an}为递增数列．总结 数列是一种特殊的函数，因此可用研究函数单调性的方法来研究数列的单调性．►变式训练 1 在数列{an}中，an＝n3－an，若数列{an}为递增数列，试确定实数 a 的取值范围．解 若{an}为递增数列，则 an＋1－an≥0.即(n＋1)3－a(n＋1)－n3＋an≥0 恒成立．即 a≤(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1 恒成立，即 a≤(3n2＋3n＋1)min， n∈N*，∴3n2＋3n＋1 的最小值为 7. ∴a 的取值范围为 a≤7.二、求数列的最大项例 2 已知 an＝ (n∈N*)，试问数列{an}中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．解 因为 an＋1－an＝n＋1·(n＋2)－n·(n＋1)＝n＋1·＝n＋1·，则当 n≤7 时，n＋1·>0，当 n＝8 时，n＋1·＝0，当 n≥9 时，n＋1·<0，所以 a1
a10>a11>a12>…，故数列{an}存在最大项，最大项为 a8＝a9＝.总结 先考虑{an}的单调性，再利用单调性求其最值．►变式训练 2 已知数列{an}的通项公式为 an＝n2－5n＋4，则(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，an有最小值？并求出最小值．解 (1)an＝n2－5n＋4＝2－，当 n＝2,3 时，an<0.∴数列中有两项是负数．(2) an＝n2－5n＋4＝2－，可知对称轴方程为 n＝＝2.5.又因 n∈N*，故 n＝2 或 3 时，an有最小值，其最小值为－2.三、由递推公式求通项公式例 3 已知数列{an}满足 a1＝1，an＝an－1＋ (n≥2)，写出该数列的前五项及它的一个通项公式．解 由递推公式得 a1＝1，a2＝1＋＝，a3＝＋＝，a4＝＋＝，a5＝＋＝.故数列的前五项分别为 1，，，，.∴通项公式为 an＝＝2－.总结 已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要掌握由 a1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想 an的方法，以及累加：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1；累乘：an＝··…··a1等方法．►变式训练 3 已知数列{an}满足 a1＝，anan－1＝an－1－an，求数列{an}的通项公式．解 anan－1＝an－1－an，∴－＝1.∴＝＋＋＋…＋＝2＋1 ＋ 1 ＋ … ＋ 1 ＝n＋1.∴＝n＋1，∴an＝.课堂小结：函数与数列的联系与区别一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问...
