第 1 课时 数列的概念1．数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数 N*或其子集{1，2，3，……n}的函数 f(n)．数列的一般形式为 a1，a2，…，an…，简记为{an}，其中 an是数列{an}的第 项．2．数列的通项公式一个数列{an}的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式 an＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．3．在数列{an}中，前 n 项和 Sn与通项 an的关系为： 4．求数列的通项公式的其它方法⑴ 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法．⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数 n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取 n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.例 1. 根据下面各数列的前 n 项的值，写出数列的一个通项公式．⑴ －，，－，…；⑵ 1，2，6，13，23，36，…；⑶ 1，1，2，2，3，3，解： ⑴ an＝(－1)n⑵ an＝（提示：a2－a1＝1，a3－a2＝4，a4－a3＝7，a5－a4＝10，…，an－an－1＝1＋3(n－2)=3n－5．各式相加得⑶ 将 1，1，2，2，3，3，…变形为∴变式训练 1.某数列{an}的前四项为 0，，0，，则以下各式：典型例题基础过关① an＝[1＋(－1)n] ② an＝③ an＝ 其中可作为{an}的通项公式的是（ ）A．①B．①②C．②③D．①②③解：D 例 2. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn，求通项．⑴ Sn＝3n－2⑵ Sn＝n2＋3n＋1解 ⑴ an＝Sn－Sn－1 (n≥2) a1＝S1 解得：an＝ ⑵ an＝变式训练 2：已知数列{an}的前 n 项的和 Sn满足关系式 lg(Sn－1)＝n，(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为 ．解：当 n＝1 时，a1＝S1＝11；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝10n－10n－1＝9·10 n－1．故 an＝例 3. 根据下面数列{an}的首项和递推关系，探求其通项公式．⑴ a1＝1，an＝2an－1＋1 (n≥2)⑵ a1＝1，an＝ (n≥2)⑶ a1＝1，an＝ (n≥2)解：⑴ an＝2an－1＋1(an＋1)＝2(an－1＋1)(n≥2)，a1＋1＝2．故：a1＋1＝2n，∴an＝2n－1．⑵an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a3－a2）＋（a2－a1）＋a1＝3n－1＋3n－2＋…＋33＋3＋1＝．(3) ∴an＝变式训练 3.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求该数列的通项公式．解：方法一：由 ...
