课 题： 第 03 课时 一般形式的柯西不等式教学目标：1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义； 2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法教学重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。教学难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式。教学过程：一、复习引入：定理 1：（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则，其中等号当且仅当时成立。定理 2：（柯西不等式的向量形式）设， 为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。定理 3：（三角形不等式）设为任意实数，则： 二、讲授新课：类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β| .将空间向量的坐标代入，可得到这就是三维形式的柯西不等式.对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？定理 4：（一般形式的柯西不等式）：设 为大于 1 的自然数，（1，2，…， ）为任意实数，则：即，其中等号当且仅当时成立（当时，约教学札记用心 爱心 专心1定，1，2，…， ）。证明：构造二次函数： 即构造了一个二次函数：由于对任意实数 ，恒成立，则其，即：，即：，等号当且仅当，即等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…， ）。如果（）全为 0，结论显然成立。三、应用举例：例 3 已知 a1,a2,…,an都是实数，求证：分析：用 n 乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。例 4 已知 a，b，c，d 是不全相等的实数，证明：a2 + b2 + c2 + d2 > ab + bc + cd + da 分析：上式两边都是由 a,b,c,d 这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。 分析：由形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式而解决问题。四、巩固练习：练习：1．设 x，y，z 为正实数，且 x+y+z=1，求的最小值。 2．已知 a+b+c+d=1，求 a2+b2+c2+d2的最小值。 3．已知 a，b，c 为正实数，且 a+2b+3c=9，求的最大值。用心 爱心 专心2选做：4．已知 a，b，c 为正实数，且 a2+2b2+3c2=6，求 a+b+c 的最小值。（08 广一模） 5．已知 a，b，c 为正实数，且 a+2b+c=1，求的最小值。（08 东莞二模） 6．已知 x+y+z=，则 m=x2+2y2+z2的最小值是____________.(08 惠州调研)五、课堂小结：重点掌握三维柯西不等式的运用。六、布置作业：P41 习题 3.2 2，3，4，5七、教学后记：用心 爱心 专心3
