1.3.1 函数的单调性与导数（一）一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性.三、教学过程（一）复习引入1．增函数、减函数的定义一般地，设函数 f(x) 的定义域为 I：如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量 x1，x2，当 x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说 f(x)在这个区间上是增函数．当 x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数．2．函数的单调性如果函数 y＝f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函 数 y＝f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做 y＝f(x) 的单调区间．在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．例 1 讨论函数 y＝x2－4x＋3 的单调性．解：取 x1＜x2，x1、x2∈R， 取值f(x1)－f(x2)＝(x12－4x1+3)－(x22－4x2+3) 作差＝(x1－x2 )(x1＋x2－4) 变形当 x1＜x2＜2 时，x1＋x2－4＜0，f(x1)＞f(x2)， 定号∴y＝f(x)在(－¥, 2)单调递减． 判断当 2＜x1＜x2时， x1＋x2－4＞0，f(x1)＜f(x2)，∴y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增．综上所述 y＝f(x)在(－¥, 2)单调递减，y＝f(x)在(2, ＋∞)单调递增。能否利用导数的符号来判断函数单调性？一般地，设函数 y＝f(x)在某个区间内可导，如果 f(x)'＞0，则 f(x)为增函数； 如果 f(x)'＜0，则 f(x)为减函数．例 2．教材 P24 面的例 1。例 3．确定函数 f(x)＝x2－2x＋4 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．1解： f(x)'＝2x－2． 令 2x－2＞0，解得 x＞1．因此，当 x∈(1, +∞)时，f(x)是增函数．令 2x－2＜0，解得 x＜1． 因此，当 x∈(－∞, 1)时，f(x)是减函数．例 4．确定函数 f(x)＝2x3－6x2＋7 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．解：f(x)'＝6x2－12x．令 6x2－12x＞0，解得 x＜0 或 x＞2．因此，当 x∈(－∞, 0)时，函数 f(x)是增函数，当 x∈(2, ＋∞)时， f(x)也是增函数．令 6x2－12x＜0，解得 0＜x＜2．因此，当 x∈(0, 2)时，f(x)是减函数．利用导数确定函数的单调性的步骤：(1) 确定函数 f(x)的定义域；(2) 求出函数的导数；(3) 解不等式 f ¢(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式 f ¢(x)＜0，得函数的单调...
