热点专题突破四立体几何的综合问题1.(2015·江苏高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=,PA=AD=2,AB=BC=1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.1.【解析】以{}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则各点的坐标为B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).(1)因为AD⊥平面PAB,所以是平面PAB的一个法向量,=(0,2,0).因为=(1,1,-2),=(0,2,-2).设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),则m·=0,m·=0,即令y=1,解得z=1,x=1.所以m=(1,1,1)是平面PCD的一个法向量.从而cos<,m>=,所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为.(2)因为=(-1,0,2),设=λ=(-λ,0,2λ)(0≤λ≤1),又=(0,-1,0),则=(-λ,-1,2λ),又=(0,-2,2),从而cos<>=.设1+2λ=t,t∈[1,3],则cos2<>=.当且仅当t=,即λ=时,|cos<>|的最大值为.因为y=cosx在上是减函数,此时直线CQ与DP所成角取得最小值.又因为BP=,所以BQ=BP=.2.(2016·吉林实验中学四模)如图的多面体是直平行六面体ABCD-A1B1C1D1经平面AEFG所截后得到的图形,其中∠BAE=∠GAD=45°,AB=2AD=2,∠BAD=60°.(1)求证:BD⊥平面ADG;(2)求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.2.【解析】(1)在△BAD中, AB=2AD=2,∠BAD=60°,∴由余弦定理可得BD=,∴AB2=AD2+BD2,∴AD⊥BD.又在直平行六面体中,GD⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴GD⊥BD.又AD∩GD=D,∴BD⊥平面ADG.(2)以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. ∠BAE=∠GAD=45°,AB=2AD=2,则有A(1,0,0),B(0,,0),G(0,0,1),E(0,,2),C(-1,,0),∴=(-1,,2),=(-1,0,1).设平面AEFG的法向量为n=(x,y,z),故有令x=1,得y=-,z=1,n=.而平面ABCD的一个法向量为=(0,0,1),∴cos<,n>=.故平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为.3.如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是梯形,AD∥BC,侧面ABB1A1为菱形,∠DAB=∠DAA1.(1)求证:A1B⊥AD;(2)若AD=AB=2BC,点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点,∠A1AB=60°,求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值.3.【解析】(1)连接A1B,AB1相交于O,连接DO. 侧面ABB1A1为菱形,∴AB=AA1,又∠DAB=∠DAA1,AD=AD,∴△DAA1≌△DAB,则BD=A1D,∴OD⊥A1B,又A1B⊥AB1,∴A1B⊥平面AOD,即得A1B⊥AD.(2)分别以射线OB,射线OB1,射线OD为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz,如图所示.设AD=AB=2BC=2a,由∠A1AB=60°,可知|OB|=a,|OA|=|OB1|=a,∴|OD|==a,从而A(0,-a,0),B(a,0,0),B1(0,a,0),D(0,0,a),∴=(-a,a,0).由,可得C,∴.设平面DCC1D1的一个法向量为m=(x0,y0,z0),由m·=m·=0,得取y0=1,则x0=,z0=3,∴m=(,1,3).又平面ABB1A1的法向量为=(0,0,a),∴cos<,m>=,故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为.4.(2015·天津高考)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱AA1⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.(1)求证:MN∥平面ABCD;(2)求二面角D1-AC-B1的正弦值;(3)设E为棱A1B1上的点.若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为,求线段A1E的长.4.【解析】如图,以A为原点建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,-2,2).又因为M,N分别为B1C和D1D的中点,得M,N(1,-2,1).(1)依题意,可得n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量..由此可得·n=0,又因为直线MN⊄平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.(2)=(1,-2,2),=(2,0,0).设n1=(x,y,z)为平面ACD1的法向量,则即不妨设z=1,可得n1=(0,1,1).设n2=(x,y,z)为平面ACB1的法向量,则=(0,1,2),得不妨设z=1,可得n2=(0,-2,1).因此有cos==-,于是sin=.所以二面角D1-AC-B1的正弦值为.(3)依题意,可设=λ,其中λ∈[0,1],则E(0,λ,2),从而=(-1,λ+2,1).又n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量,由已知,得cos<,n>=,整理得λ2+4λ-3=0,又因为λ∈[0,1],解得λ=-2.所以线段A1E的长为-2.5.(2015·郑州一中等校联考)如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上除A,B外的一个动点,DC垂直于半圆O所在的平面,DC∥EB,DC=EB,AB=4,tan∠EAB=.(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;(2)当三棱锥C-ADE体积最大时,求二面角D-AE-B...
