高中数学 3.1.3 两角和与差的正切互动课堂学案 苏教版必修 4疏导引导1.两角和与差的正切公式的推导当 cos （ α+β ） ≠ 0 时 ， 将 公 式 Sα+β,Cα+β 的 两 边 分 别 相 除 ， 有 tan （ α+β ） =.当 cosα·cosβ≠0 时，将上式的分子、分母分别除以 cosα·cosβ,得tan（α+β）=(Tα+β).由于 tan（-β）=sin(-β)cos(-β)=-sinβcosβ=-tanβ,在 Tα+β中以-β 代 β,可得tan（α-β）=(Tα-β).2.关于两角和与差的正切公式要注意几个问题（1）公式适用范围因 为 y=tanx 的 定 义 域 为 x≠+kπ,k∈Z, 所 以 Tα+β 只 有 在 α≠+kπ,β≠+kπ,α+β≠+kπ 时才成立，否则不成立，这是由任意角的正切函数的定义域所决定的.当 tanα,tanβ 或 tan（α±β）的值不存在时，不能使用 Tα+β处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方法.例如化简 tan（-β）,因为 tan的值不存在，不能利用公式Tα-β,所以改用诱导公式.(2)注意公式的逆向运用=tan［(α+β)-β］=tanα.=tan(45°+α).(3)变形应用tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)如 tanα+tanβ+tanα·tanβtan(α+β)=tan(α+β)tan(α+β)-tanα-tanβ=tanα+tanβtan(α+β).活学巧用【例 1】求下列各式的值.(1)(2)(3)(4)解析：（1）原式=tan（75°-15°）=tan60°=.(2)原式===tan(55°-25°)=tan30°=.(3)=tan(45°+75°)=tan120°=tan(180°-60°)=-tan60°=.(4)=tan(60°-15°)=tan45°.【例 2】化简求值:(3+tan30°tan40°+tan40°tan50°+tan50°tan60°)·tan10°.解析：原式=（1+tan30°tan40°+1+tan40°tan50°+1+tan50°tan60°）·tan10°.因为 tan10°=tan(40°-30°)=,所以 1+tan40°tan30°=.同理，1+tan40°tan50°=，1+tan50°tan60°=.所以原式=(++)·tan10°.=tan40°-tan30°+tan50°-tan40°+tan60°-tan50°=-tan30°+tan60°=.
