空间向量与立体几何[巩固层·知识整合] [提升层·题型探究](教师独具)空间向量的线性运算和数量积【例 1】 (1)如图，已知空间四边形 ABCD，E，H 分别是边 AB，AD 的中点，F，G 分别是边 CB，CD 上的点，且CF＝CB，CG＝CD.求证：四边形 EFGH 是梯形．(2)已知正四面体 OABC 的棱长为 1，如图．求：①OA·OB；②(OA＋OB)·(CA＋CB)；③|OA＋OB＋OC|.[思路探究] (1)利用向量共线定理证明．(2)利用数量积的定义及运算法则进行．[解] (1)证明： E，H 分别是边 AB，AD 的中点，∴AE＝AB，AH＝AD.则EH＝AH－AE＝AD－AB＝(AD－AB)＝BD. FG＝CG－CF＝CD－CB＝(CD－CB)＝BD，∴EH∥FG且|EH|＝|FG|≠|FG|.又 F 不在 EH 上，故四边形 EFGH 是梯形．(2)在正四面体 OABC 中，|OA|＝|OB|＝|OC|＝1.〈OA，OB〉＝〈OA，OC〉＝〈OB，OC〉＝60°.①OA·OB＝|OA||OB|·cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝.②(OA＋OB)·(CA＋CB)＝(OA＋OB)·(OA－OC＋OB－OC)＝(OA＋OB)·(OA＋OB－2OC)＝OA2＋2OA·OB－2OA·OC＋OB2－2OB·OC＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1＋1－1＋1－1＝1.③|OA＋OB＋OC|＝＝＝.1．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．2．空间向量的数量积(1) 空 间 向 量 的 数 量 积 的 定 义 表 达 式 a·b ＝ |a|·|b|·cos 〈 a ， b 〉 及 其 变 式cos〈a，b〉＝是两个重要公式．(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如 a2＝|a|2，a 在 b上的投影＝|a|·cos θ 等．[跟进训练]1.如图，已知 ABCDA′B′C′D′是平行六面体．设 M 是底面 ABCD 的中心，N 是侧面 BCC′B′对角线 BC′上的分点，设MN＝αAB＋βAD＋γAA′，则 α＋β＋γ＝________. [连接 BD，则 M 为 BD 的中点，MN＝MB＋BN＝DB＋BC′＝(DA＋AB)＋(BC＋CC′)＝(－AD＋AB)＋(AD＋AA′)＝AB＋AD＋AA′.∴α＝，β＝，γ＝.∴α＋β＋γ＝.]空间向量基本定理【例 2】 (1)已知 a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若 a，b，c 三个向量不能构成空间的一个基底，则实数 λ 的值为( )A．0 B． C．9 D．(2)如图，已知空间四边形 OABC，对角线 OB，AC，M，...
