第 2 章 平面解析几何2.8 直线与圆锥曲线的位置关系学 习 目 标核 心 素 养1．通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系．(重点)2．会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题．(重点、难点)通过判断直线与圆锥曲线的位置关系，求相关弦长、定点、定值、最值、范围等，提升逻辑推理、数学运算素养．激光武器是一种利用激光束攻击目标的定向能武器．目前我国的高能激光武器完全有能力击毁或致盲国外的间谍卫星(在以地球为焦点的椭圆形轨道上运行的低空卫星)，假如有一天我们要用激光武器对付间谍卫星就需要用到我们本节课要学习的直线与圆锥曲线的位置关系的知识，因为激光是直线光而卫星轨道是椭圆，激光击毁卫星实际上是直线与椭圆的相交问题．1．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联立，消元得方程 ax2＋bx＋c＝0．方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a≠0，Δ＞02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ＜00相离直线与双曲线a＝01直线与双曲线的渐近线平行且两者相交a≠0，Δ＞02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ＜00相离直线与抛物a＝01直线与抛物线的对称轴重合或平行线且两者相交a≠0，Δ＞02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ＜00相离思考：直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？[提示] 不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交．2．弦长公式当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题，弦长公式为：若直线 l 的斜率为 k，与圆锥曲线 C 交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 |AB|＝| x 1－ x 2|＝＝| y 1－ y 2|＝．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面上到定点 A(1,0)和到定直线 l：x＋2y＋3＝0 的距离相等的点的轨迹为抛物线．( )(2)一条直线与双曲线的两支交点个数最多为 2 条．( )(3)抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)×[提示] (1)√ (2)√(3)× 必要不充分条件．2．抛物线 y2＝12x 截直线 y＝2x＋1 所得弦长等于( )A． B．C．2 D．2A [令直线与抛物线交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得 4x2－8x＋1＝0，∴x1＋x2＝2，x1x2＝，∴|AB|＝＝＝．]3．直线 y＝x＋1 与椭圆 x2＋＝1 的位置关系为 ．相交 [...
