3.1.1 两角差的余弦公式学 习 目 标核 心 素 养1.了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点)2.理解用向量法导出公式的主要步骤．(难点)3.熟练利用两角差余弦公式进行求值计算．(重点、易混点)1.借助用向量法推导两角差的余弦公式，培养学生的逻辑推理素养.2.通过用两角差余弦公式进行化简、求值，提升学生的数学运算和数据分析的核心素养.1．两角差的余弦公式公式cos(α－β)＝cos α cos β ＋ sin α sin β 适用条件公式中的角 α，β 都是任意角公式结构公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反思考：cos(α－β)＝cos α－cos β 成立吗？[提示] 不一定成立，这是对公式的误解．2．两角差的余弦公式的推导在平面直角坐标系中作单位圆 O，以 Ox 为始边作 α，β，它们的终边与单位圆分别交A，B，则图 1OA＝(cos α ， sin α ) ，OB＝(cos β ， sin β ) ，∴OA·OB＝cos α cos β ＋ sin α sin β ，设OA与OB的夹角为 θ，则由数量积定义知OA·OB＝| OA || OB |cos θ ＝cos θ ，∴cos θ＝cos αcos β＋sin αsin β. α＝2kπ＋β＋θ(如图 1)或 α＝2kπ＋β－θ(k∈Z)(如图 2)，∴α－β＝2kπ±θ(k∈Z)，图 2所以 cos(α－β)＝cos θ ，所以 cos(α－β)＝cos α cos β ＋ sin α sin β .1．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°等于( )A．cos 100° B．sin 100°C. D.C [原式＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝.]2．cos(－15°)的值是( )A. B.C. D.D [cos(－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝.]3．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝ . [原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝.]4．已知 α 是锐角，sin α＝，则 cos＝ . [由条件可求的 cos α＝，∴cos＝coscos α＋sinsin α＝×＋×＝.]给角求值问题【例 1】 (1)cos 的值为( )A. B.C. D．－(2)求下列各式的值：①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°；②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°；③cos 15°＋sin 15°.(1)D [cos＝cos＝－cos＝－cos＝－coscos－sinsin＝－×－×＝－.](2)[解] ① cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°)＝cos 75°cos 15°＋sin...
