5.2.2 同角三角函数的基本关系学 习 目 标核 心 素 养1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点)2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)1.通过同角三角函数的基本关系进行运算，培养数学运算素养.2.借助数学式子的证明，培养逻辑推理素养.气象学家洛伦兹 1963 年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风.这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，此效应本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导火索.从中我们还可以看出，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点.问题：既然感觉毫不相干的事物都是相互联系的，那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？提示：sin2α＋cos2α＝1，tan α＝ (α≠kπ＋，k∈Z).1．平方关系(1)公式：sin2α＋cos2α＝1.(2)语言叙述：同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1.2．商数关系(1)公式：＝tan α (α≠kπ＋，k∈Z)．(2)语言叙述：同一个角 α 的正弦、余弦的商等于角 α 的正切 ．思考：对任意的角 α，sin22α＋cos22α＝1 是否成立？提示：成立．平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)对任意角 α，＝tan 都成立．( )(2)因为 sin2 π＋cos2 ＝1，所以 sin2α＋cos2β＝1 成立，其中 α，β 为任意角．( )(3)对任意角 α，sin α＝cos α·tan α 都成立．( )[提示] 由同角三角函数的基本关系知(2)错，由正切函数的定义域知 α 不能取任意角，所以(1)错，(3)错．[答案] (1)× (2)× (3)×2．化简的结果是( )A．cos B．sinC．－cos D．－sinC [因为是第二象限角，所以 cos＜0，所以＝＝＝－cos.]3．如果 α 是第二象限的角，下列各式中成立的是( )A．tan α＝－B．cos α＝－C．sin α＝－D．tan α＝B [由商数关系可知 A，D 均不正确．当 α 为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故 B 正确．]4．已知 cos α＝－，且 α 为第三象限角，则 sin α＝ ，tan α＝ .－ [ cos α＝－，α 为第三象限角，∴sin α＝－＝－＝－.tan α＝＝＝.]...
