7.3.1 三角函数的周期性学 习 目 标核 心 素 养1．理解周期函数的定义．(难点)2．知道正弦函数、余弦函数的最小正周期．(重点)3．会求函数 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)以及 y＝Atan(ωx＋φ)的周期．(重点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养．观察下列图象，这些图象具有怎样的共同规律？1．周期函数的定义(1)设函数 y＝f(x)的定义域为 A，如果存在一个非零的常数 T，使得对于任意的 x∈A，都有 x＋T∈A，并且 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么函数 f(x)就叫作周期函数，非零常数 T 叫作这个函数的周期．(2)对于一个周期函数 f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作 f(x)的最小正周期．(今后不加特殊说明，一般都是指函数的最小正周期)(3)正弦函数和余弦函数都是周期函数，2 k π( k ∈ Z 且 k ≠0) 都是它们的周期，它们的最小正周期都是 2π．思考 1：单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由．[提示] 由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有 sin(2π＋x)＝sin x．故正弦函数、余弦函数也具有周期性．思考 2：所有的周期函数都有最小正周期吗？[提示] 并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数 f(x)＝C，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的周期一般地，函数 y＝Asin(ωx＋φ)及 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 A，ω，φ 为常数，且A≠0，ω＞0)的周期 T＝．函数 y＝Atan(ωx＋φ) (其中 A，ω，φ 为常数，且 A≠0，ω＞0)的周期为．思考 3：6π 是函数 y＝sin x(x∈R)的一个周期吗？[提示] 是．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)周期函数都一定有最小正周期．( )(2)周期函数的周期只有唯一一个．( )(3)周期函数的周期可以有无数多个．( )[答案] (1)× (2)× (3)√2．函数 y＝sin 的周期是________．2 [T＝＝2．]3．函数 f(x)＝－2cos 的周期是________． [T＝＝．]求三角函数的周期【例 1】 求下列函数的最小正周期．(1)f(x)＝2sin；(2)f(x)＝2tan；(3)y＝|sin x|；(4)f(x)＝－2cos(a≠0)．[思路点拨] 利...
