1.3 三角函数的诱导公式互动课堂疏导引导1.角 α 与 π+α 的三角函数关系图 1-3-3如图 1-3-1,设任意角 α 的终边与单位圆的交点坐标为 P1(x,y),由于角 π+α 的终边与角α 的终边关于原点对称,角 π+α 的终边与单位圆的交点 P2与点 P1关于原点 O 对称,因此 P2的坐标是(-x,-y),由三角函数的定义得sinα=y,cosα=x,tanα=,sin(π+α)=-y,cos(π+α)=-x,tan(π+α)==.从而得公式(二)sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanα2.角 α 与-α 的三角函数关系 如图 1-3-2,设单位圆与角 α,角(-α)的终边的交点分别为 P1和 P2,容易看出点 P1和 P2关于 x 轴对称,已知点 P1 的坐标为(x,y),则 P2 的坐标为(x,-y).由三角函数的定义得sinα=y,cosα=x,tanα=,sin(-α)=-y,sin(-α)=x,tan(-α)=-.图 1-3-2∴公式(三)sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanα3.角 α 与 π-α 的三角函数关系 如图 1-3-3,设单位圆与角 α,角 π-α 的终边的交点分别为 P1和 P2,则 P1、P2关于 y 轴对称,已知 P1(x,y),则 P2 的坐标为(-x,y),由三角函数的定义得 sin(π-α)=y,cos(π-α)=-x,tan(π-x)=-.图 1-3-3∴公式(四)sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanα4.角 α 与-α 的三角函数关系如图 1-3-4,设任意角 α 与单位圆的交点 P1(x,y),由于角-α 的终边与角 α 的终边关于直线 y=x 对称,角-α 的终边与单位圆的交点 P2与 P1关于直线 y=x 对称,因此点 P2的坐标为(y,x),于是有 cosα=x,sinα=y,cos(-α)=y,sin(-α)=x.图 1-3-4∴公式(五) sin(-α)=cosαcos(-α)=sinα由于+α=π-(-α),由公式(四)及公式(五)可得公式(六)sin(+α)=cosαcos(+α)=-sinα5.这六组公式必须注意的几个问题(1)公式中的角 α 可以是任意角;(2)这六组诱导公式可以叙述为:①α+k·2π,π+α,-α,π-α 的三角函数值等于 α 的同名三角函数值,前面加上一个把α 看成锐角是原函数值的符号.为了便于记忆,也可简单地说成:“函数名不变，符号看象限.”②α+,-α+的三角函数值,等于 α 的余名三角函数值,前面加上一个把 α 看成锐角是原函数值的符号,记忆口诀为:“函数名改变，符号看象限.”③ 这两套公式可以推广为:k·+α(k∈Z)的三角函数值,当 k 为偶函数时,得 α 的同名函数值;当 k 为奇数时,得 α 的异名函数值,然后在前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号....
