高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的三角函数 3.1.1 两角和与差的余弦导学案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学学案VIP专享

3．1.1 两角和与差的余弦课堂导学三点剖析1.两角和与差的余弦公式的应用【例 1】化简下列各式.（1）sin70°cos25°-sin20°·sin25°;（2）cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)sin(170°-α).思路分析：从整体上观察式子的特点，区别角的异同，利用诱导公式合理转化，凑成公式形式，再利用公式解题.解：（1）原式=cos20°cos25°-sin20°sin25°=cos(20°+25°)=cos45°=.(2)原式=cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)sin［180°-（10°+α）］=cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)·sin(10°+α)=cos［（70°+α）-(10°+α)］=cos60°=.温馨提示 在逆用公式时，要通过诱导公式变形，使之符合公式的特征，有时还可以把三角式中的系数作为特殊值转化为特殊角.2.两角差的余弦公式的探索与证明【例 2】已知 sin=，cosβ=，求 cos（α-β）的值.思路分析：本题要考查利用两角差的余弦公式求值.根据两角差的余弦公式知，还须求cosα、sinβ.由条件可知，只要对 α、β 所处的象限进行讨论即可.解： sinα=＞0，∴α 为第一、二象限角.当 α 为第一象限角时，cosα=；当 α 为第二象限角时，cosα=-. cosβ=＞0，∴β 为第一、四象限角.当 β 为第一象限角时，sinβ=；当 β 为第四象限角时，sinβ=-. cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，∴当 α、β 均为第一象限角时，cos（α-β）=×+×=；当 α 为第一象限角，β 为第四象限角时，cos（α-β）=×+×（-）=；当 α 为第二象限角，β 为第一象限角时，cos（α-β）=（-）×+×（-）=-；当 α 为第二象限角，β 为第四象限角时，cos（α-β）=（-）×+×-=-.温馨提示 ① 解题时，由结论出发分析题目作了哪些条件准备，还需再求什么，明确解题的目标 .② 已知条件中给出某个角的三角函数值，但并未指出角 α 所在的象限时，一般要进行分类讨论.3.两角和与差的余弦公式的综合应用【例 3】已知 cos（α-）=-，sin（-β）=，且 α∈（，π），β∈（0，），求 cos的值.思路分析：本题主要考查角的变换及两角差的余弦公式.本题是给值求值的问题，若不考虑条件，盲目地看 cos无法求.为此寻求已知条件中角 α-、-β 与欲求式中角的关系，不难发现=（α-）-（-β），这样将 cosα+的值转化为cos[(α-)-（-β）]的值，可利用两角差的余弦公式求得.解： ＜α＜π，0＜β＜，∴＜＜，0＜＜＜，＜α+β＜.∴＜α-＜π，-＜-β＜，＜＜.又 cos（α-）=-...