高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的三角函数 3.1.3 两角和与差的正切导学案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学学案VIP专享

3.1.3 两角和与差的正切课堂导学三点剖析1.两角和与差的正切公式应用初步【例 1】计算下列各式的值.（1）tan15°+tan75°;(2).解析：观察各式的特点，设法化为特殊角的和、差正切公式计算.解：（1）tan15°+tan75°=tan(45°-30°)+tan(45°+30°)====4.(2)原式=tan(41°+19°)=tan60°=.温馨提示 要灵活运用和、差角正切公式进行化简求值.当一个角能表示成两个特殊角的和或差时，可用公式求值；若式子能转化成公式右边的形式，便可逆用公式求值.2.两角和与差的正切公式的综合应用【例 2】已知：A、B∈(0,),且 A+B=.求证：（1+tanA）(1+tanB)=2.思路分析 1：从局部入手，tanB=tan(-A)=.思路分析 2：从整体入手，（1+tanA）(1+tanB)=1+tanA+tanB+tanAtanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)+(1+tanAtanB)〔此式由 tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)代换得到〕.证法 1： A+B=,∴tanB=tan(-A)=.左边=（1+tanA）(1+)=(1+tanA)·=2=右边.故原式成立.证法 2：由 tan(A+B)=得，tan(A+B)(1-tanA·tanB)=tanA+tanB.∴原式左边=1+tanA+tanB+tanAtanB=tan(A+B)(1-tanA·tanB)+(1+tanA·tanB).又 A+B=,∴tan(A+B)=1.∴原式左边=1-tanAtanB+1+tanAtanB=2=右边.故原式成立.温馨提示tanα±tanβ=tan（α±β）（1tanαtanβ）这一公式变形在解题中经常用到，只要题目中有 tanα+tanβ 或 tanα-tanβ，一般用正切公式的变形，整体代入都能奏效.3.角的变换与角的范围的确定【例 3】已知 α、β、γ 都是锐角，且 tanα=，tanβ=，tanγ=，求 α+β+γ 的值.解：因为 tan（α+β）==tan[（α+β）+γ]===1.由已知 γ＜β＜α，又因 0＜＜，所以 0＜γ＜β＜α＜，得 0＜α+β+γ＜.故 α+β+γ=.温馨提示 本类问题通常会因为角的范围太大，导致产生不合题意的角，遇到本类问题，要根据已知条件尽可能精确地确定角的范围.各个击破类题演练 1计算下列各式的值.（1）; (2).解：（1）原式==tan(45°-15°)=tan30°=.(2)原式=tan(-)=tan=1.变式提升 1求出下列各式的值，完成填空.（1）=________________；（2）=______________.思路分析：（1）原式=tan（75°-15°）=tan60°=.（2）原式==tan45°=1.答案：（1） （2）1类题演练 2求 tan50°-tan20°-tan50°·tan20°的值.解析：本题主要考查给角求值，观察式子的结构特点知，tan50°-tan20°是两角差正切公式中的分子〔tan（50°-20°）=〕，于是抓住这一点作为突破口，用公式的变形，容易解决.解...