高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2.1 基本不等式学案 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学学案

第 1 课时 基本不等式1．理解基本不等式的推导过程，掌握基本不等式及成立条件．2．会用基本不等式证明简单的不等式．两个不等式叫做正数 a，b 的算术平均数，叫做正数 a，b 的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．温馨提示：“当且仅当 a＝b 时，等号成立”是指若 a≠b，则 a2＋b2≠2ab，≠，即只能有 a2＋b2>2ab，<.1．不等式 a2＋b2≥2ab 与≤成立的条件相同吗？如果不同各是什么？[答案] 不同，a2＋b2≥2ab 成立的条件是 a，b∈R；≤成立的条件是 a，b 均为正实数2．a＋≥2(a≠0)是否恒成立？[答案] 只有 a>0 时，a＋≥2，当 a<0 时，a＋≤－23．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意 a，b∈R，a2＋b2≥2ab、a＋b≥2 均成立．( )(2)若 a≠0，则 a＋≥2 ＝4.( )(3)若 a，b∈R，则 ab≤2.( )[答案] (1)× (2)× (3)√题型一对基本不等式的理解【典例 1】 给出下面三个推导过程：① 因为 a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2 ＝2；② 因为 a∈R，a≠0，所以＋a≥2 ＝4；③ 因为 x，y∈R，xy<0，所以＋＝－≤－2 ＝－2.其中正确的推导过程为( )A．①② B．②③ C．② D．①③[思路导引] 根据基本不等式中的条件进行判断．[解析] 从基本不等式成立的条件考虑．① 因为 a，b∈(0，＋∞)，所以，∈(0，＋∞)，符合基本不等式成立的条件，故①的推导过程正确；② 因为 a∈R，a≠0 不符合基本不等式成立的条件，所以＋a≥2 ＝4 是错误的；③ 由 xy<0 得，均为负数，但在推导过程中将＋看成一个整体提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故③正确．[答案] D 基本不等式≥(a>0，b>0)的 2 个关注点(1)不等式成立的条件：a，b 都是正数．(2)“当且仅当”的含义：① 当 a＝b 时，≥的等号成立，即 a＝b⇒＝；② 仅当 a＝b 时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b.[针对训练]1．下列命题中正确的是( )A．当 a，b∈R 时，＋≥2 ＝2B．当 a>0，b>0 时，(a＋b)≥4C．当 a>4 时，a＋≥2 ＝6D．当 a>0，b>0 时，≥[解析] A 项中，可能<0，所以不正确；B 项中，因为 a＋b≥2>0，＋≥2>0，相乘得(a＋b)≥4，当且仅当 a＝b 时等号成立，所以正确；C 项中，a＋≥2 ＝6 中的等号不成立，所以不正确；D 项中，由基本不等式知，≤(a>0，b>0)，所以 D 不正确．[答案] B题型二利用基本不等式证明不等式【典例 2】...