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高考数学二轮复习 第二部分 专题四 立体几何 专题强化练十二 立体几何中的向量方法 理-人教版高三数学试题VIP免费

高考数学二轮复习 第二部分 专题四 立体几何 专题强化练十二 立体几何中的向量方法 理-人教版高三数学试题_第1页
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专题强化练十二立体几何中的向量方法一、选择题1.在三棱柱ABCA1B1C1中,底面是边长为1的正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,点D在棱BB1上,且BD=1,若AD与平面AA1C1C所成的角为α,则sinα的值是()A.B.C.D.解析:如图,建立空间直角坐标系,易求点D(,,1),平面AA1C1C的一个法向量是n=(1,0,0),所以cos〈n,AD〉==,则sinα=.答案:D2.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,点E是底面ABCD上的动点,则(CE-CA1)·D1B1的最大值为()A.B.1C.D.解析:由正方体性质知CA1·D1B1=0,则(CE-CA1)·D1B1=CE·D1B1.建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,1,0),C(0,1,0).设点E(x,y,0),则CE=(x,y-1,0),D1B1=DB=(1,1,0).所以CE·D1B1=(x,y-1,0)·(1,1,0)=x+y-1.易知当E位于点B时,x+y有最大值2.因此CE·D1B1的最大值为2-1=1.答案:B3.(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.由条件可知D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,),B1(1,1,),所以AD1=(-1,0,),DB1=(1,1,).则cos〈AD1,DB1〉===.故异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.答案:C4.(2018·济南质检)在三棱锥PABC中,点P在底面的正投影恰好是等边△ABC的边AB的中点,点P到底面ABC的距离等于底面边长.设平面PAC与底面所成的二面角的大小为α,平面PBC与底面所成的二面角的大小为β,则tan(α+β)的值是()A.B.C.-D.-解析:如图,设点P在边AB上的射影为H,作HF⊥BC,HE⊥AC,连接PF,PE.依题意,∠HEP=α,∠PFH=β.不妨设等边△ABC的边长为2,则PH=2,AH=BH=1.所以HE=,HF=,则tanα=tanβ==,故tan(α+β)===-.答案:C二、填空题5.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,A1C1∩B1D1=E,直线AC与直线DE所成的角为α,直线DE与平面BCC1B1所成的角为β,则cos(α-β)=________.解析:⇒AC⊥平面BB1D1D⇒AC⊥DE,所以α=.取A1D1的中点F,连EF,FD,易知EF⊥平面ADD1A1,则β=∠EDF,所以cos(α-β)=cos=sin∠EDF=.答案:6.如图,在四棱锥CABOD中,CO⊥平面ABOD,AB∥OD,OB⊥OD,且AB=2OD=4,AD=2,异面直线CD与AB所成角为30°,若点O,B,C,D都在同一个球面上,则该球的表面积为________.解析:因为CD与AB所成角为30°,且AB∥OD,所以∠CDO=30°,由OD=2,知OC=OD·tan30°=.在直角梯形ABOD中,OB==2.因此(2R)2=OB2+OD2+OC2=.故球的表面积S=4πR2=π.答案:π三、解答题7.如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.(1)求证:AF∥平面BCE;(2)求二面角CBED的余弦值的大小.解:设AD=DE=2AB=2a,以AC,AB所在的直线分别为x轴、z轴,以过点A在平面ACD内和AC垂直的直线作为y轴,建立如图所示的坐标系,A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a,a,0),E(a,a,2a).因为F为CD的中点,所以F.(1)证明:AF=,BE=(a,a,a),BC=(2a,0,-a),所以AF=(BE+BC),AF⊄平面BCE,所以AF∥平面BCE.(2)设平面BCE的一个法向量为m=(x,y,z),则即不妨令x=1可得m=(1,-,2).设平面BDE的一个法向量n=(x,y,z),则即令x=可得n=(,-1,0).于是,cos〈m,n〉==.故二面角CBED的余弦值为.8.(2018·浙江卷)如图所示,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)证明:AB1⊥平面A1B1C1;(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.(1)证明:如图,以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知各点坐标如下:A(0,-,0),B(1,0,0),A1(0,-,4),B1(1,0,2),C1(0,,1).因此AB1=(1,,2),A1B1=(1,,-2),A1C1=(0,2,-3.)由AB1·A1B1=0得AB1⊥A1B1.由AB1·A1C1=0得AB1⊥A1C1.所以AB1⊥平面A1B1C1.(2)解:设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ.由(1)可知AC1=(0,2,1),AB=(1,,0),BB1=(0,0,2).设平面AB...

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