专题强化练十二立体几何中的向量方法一、选择题1．在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sinα的值是()A.B.C.D.解析：如图，建立空间直角坐标系，易求点D(，，1)，平面AA1C1C的一个法向量是n＝(1，0，0)，所以cos〈n，AD〉＝＝，则sinα＝.答案：D2．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E是底面ABCD上的动点，则(CE－CA1)·D1B1的最大值为()A.B．1C.D.解析：由正方体性质知CA1·D1B1＝0，则(CE－CA1)·D1B1＝CE·D1B1.建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，1，0)，C(0，1，0)．设点E(x，y，0)，则CE＝(x，y－1，0)，D1B1＝DB＝(1，1，0)．所以CE·D1B1＝(x，y－1，0)·(1，1，0)＝x＋y－1.易知当E位于点B时，x＋y有最大值2.因此CE·D1B1的最大值为2－1＝1.答案：B3．(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．由条件可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，)，B1(1，1，)，所以AD1＝(－1，0，)，DB1＝(1，1，)．则cos〈AD1，DB1〉＝＝＝.故异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.答案：C4．(2018·济南质检)在三棱锥PABC中，点P在底面的正投影恰好是等边△ABC的边AB的中点，点P到底面ABC的距离等于底面边长．设平面PAC与底面所成的二面角的大小为α，平面PBC与底面所成的二面角的大小为β，则tan(α＋β)的值是()A.B.C．－D．－解析：如图，设点P在边AB上的射影为H，作HF⊥BC，HE⊥AC，连接PF，PE.依题意，∠HEP＝α，∠PFH＝β.不妨设等边△ABC的边长为2，则PH＝2，AH＝BH＝1.所以HE＝，HF＝，则tanα＝tanβ＝＝，故tan(α＋β)＝＝＝－.答案：C二、填空题5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，A1C1∩B1D1＝E，直线AC与直线DE所成的角为α，直线DE与平面BCC1B1所成的角为β，则cos(α－β)＝________．解析：⇒AC⊥平面BB1D1D⇒AC⊥DE，所以α＝.取A1D1的中点F，连EF，FD，易知EF⊥平面ADD1A1，则β＝∠EDF，所以cos(α－β)＝cos＝sin∠EDF＝.答案：6.如图，在四棱锥CABOD中，CO⊥平面ABOD，AB∥OD，OB⊥OD，且AB＝2OD＝4，AD＝2，异面直线CD与AB所成角为30°，若点O，B，C，D都在同一个球面上，则该球的表面积为________．解析：因为CD与AB所成角为30°，且AB∥OD，所以∠CDO＝30°，由OD＝2，知OC＝OD·tan30°＝.在直角梯形ABOD中，OB＝＝2.因此(2R)2＝OB2＋OD2＋OC2＝.故球的表面积S＝4πR2＝π.答案：π三、解答题7．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求二面角CBED的余弦值的大小．解：设AD＝DE＝2AB＝2a，以AC，AB所在的直线分别为x轴、z轴，以过点A在平面ACD内和AC垂直的直线作为y轴，建立如图所示的坐标系，A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，a，0)，E(a，a，2a)．因为F为CD的中点，所以F.(1)证明：AF＝，BE＝(a，a，a)，BC＝(2a，0，－a)，所以AF＝(BE＋BC)，AF⊄平面BCE，所以AF∥平面BCE.(2)设平面BCE的一个法向量为m＝(x，y，z)，则即不妨令x＝1可得m＝(1，－，2)．设平面BDE的一个法向量n＝(x，y，z)，则即令x＝可得n＝(，－1，0)．于是，cos〈m，n〉＝＝.故二面角CBED的余弦值为.8.(2018·浙江卷)如图所示，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．(1)证明：如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知各点坐标如下：A(0，－，0)，B(1，0，0)，A1(0，－，4)，B1(1，0，2)，C1(0，，1)．因此AB1＝(1，，2)，A1B1＝(1，，－2)，A1C1＝(0，2，－3.)由AB1·A1B1＝0得AB1⊥A1B1.由AB1·A1C1＝0得AB1⊥A1C1.所以AB1⊥平面A1B1C1.(2)解：设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ.由(1)可知AC1＝(0，2，1)，AB＝(1，，0)，BB1＝(0，0，2)．设平面AB...
