专题限时集训(十五)高考中的立体几何(建议用时：45分钟)1．(2014·江苏高考)如图14－9，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.图14－9求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.[证明](1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.3分又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.6分(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.10分又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.14分2.如图14－10，在三棱锥P－ABC中，点E，F分别是棱PC，AC的中点．图14－10(1)求证：PA∥平面BEF；(2)若平面PAB⊥平面ABC，PB⊥BC，求证：BC⊥PA.[证明](1)在△PAC中，E，F分别是PC，AC的中点，所以PA∥EF，3分又PA⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，所以PA∥平面BEF.6分(2)在平面PAB内过点P作PD⊥AB，垂足为D，因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD⊂平面PAB，所以PD⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，所以PD⊥BC，10分又PB⊥BC，PD∩PB＝P，PD⊂平面PAB，PB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA.14分3．如图14－11，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA垂直于底面ABCD，PA＝AD＝AB＝2BC＝2，M，N分别为PC，PB的中点．图14－11(1)求证：PB⊥DM；(2)求点B到平面PAC的距离．[解](1)证明：因为N是PB的中点，PA＝AB，所以AN⊥PB，因为AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，又因为AD∩AN＝A，3分从而PB⊥平面ADMN，因为DM⊂平面ADMN，所以PB⊥DM.6分(2)连结AC，过B作BH⊥AC，因为PA⊥底面ABCD，所以平面PAC⊥底面ABCD，所以BH是点B到平面PAC的距离.12分在Rt△ABC中，BH＝＝.14分4．(2016·苏州期末)如图14－12，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，A1C1与B1D1交于点O.图14－12(1)求证：A1，C1，F，E四点共面；(2)若底面ABCD是菱形，且OD⊥A1E，求证：OD⊥平面A1C1FE.[证明](1)连结AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC.3分由直棱柱知AA1綊CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1.所以EF∥A1C1，故A1，C1，F，E四点共面.6分(2)连结BD，因为直棱柱中DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，所以DD1⊥A1C1.10分因为底面A1B1C1D1是菱形，所以A1C1⊥B1D1.又DD1∩B1D1＝D1，所以A1C1⊥平面BB1D1D.因为OD⊂平面BB1D1D，所以OD⊥A1C1.又OD⊥A1E，A1C1∩A1E＝A1，A1C1⊂平面A1C1FE，A1E⊂平面A1C1FE，所以OD⊥平面A1C1FE.14分5．(2016·苏北四市期末)如图14－13，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AB＝AC＝1，AA1＝2，点P是棱BB1上一点，满足BP＝λBB1(0≤λ≤1)．图14－13(1)若λ＝，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值；(2)若二面角P－A1C－B的正弦值为，求λ的值．[解]以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,2)，B1(1,0,2)，P(1,0,2λ)．(1)由λ＝得，CP＝，A1B＝(1,0，－2)，A1C＝(0,1，－2)，设平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由得3分不妨取z1＝1，则x1＝y1＝2，从而平面A1BC的一个法向量为n1＝(2,2,1)．设直线PC与平面A1BC所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈CP，n1〉|＝＝，所以直线PC与平面A1BC所成角的正弦值为.6分(2)设平面PA1C的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，A1P＝(1,0,2λ－2)，由得不妨取z2＝1，则x2＝2－2λ，y2＝2，所以平面PA1C的法向量为n2＝(2－2λ，2,1).10分则cos〈n1，n2〉＝，又因为二面角P－A1C－B的正弦值为，所以＝，化简得λ2＋8λ－9＝0，解得λ＝1或λ＝－9(舍去)，故λ＝1.14分6．(2016·苏锡常镇调研一)如图14－14，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2AD＝2，点E是AB的中点，F是D1E上的一点，D1F＝2FE.图14－14(1)证明：平面DFC⊥平面D1EC；(2)求二面角A－DF－C的大小．[解](1)证明：以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x...
