第15练立体几何[明晰考情]1.命题角度：空间中的平行、垂直关系的证明与探求，空间几何体的表面积、体积，平面图形的折叠问题.2.题目难度：中档难度.考点一空间的平行、垂直关系方法技巧(1)平行关系的基础是线线平行，比较常见的是利用三角形中位线构造平行关系，利用平行四边形构造平行关系.(2)证明线线垂直的常用方法①利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；②利用勾股定理的逆定理；③利用线面垂直的性质.1.如图，在六面体ABCDE中，平面DBC⊥平面ABC，AE⊥平面ABC.(1)求证：AE∥平面DBC；(2)若AB⊥BC，BD⊥CD，求证：AD⊥DC.证明(1)过点D作DO⊥BC，O为垂足.又 平面DBC⊥平面ABC，平面DBC∩平面ABC＝BC，DO⊂平面DBC，∴DO⊥平面ABC.又AE⊥平面ABC，∴AE∥DO.又AE⊄平面DBC，DO⊂平面DBC，故AE∥平面DBC.(2)由(1)知，DO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴DO⊥AB.又AB⊥BC，且DO∩BC＝O，DO，BC⊂平面DBC，∴AB⊥平面DBC. DC⊂平面DBC，∴AB⊥DC.又BD⊥CD，AB∩DB＝B，AB，DB⊂平面ABD，∴DC⊥平面ABD.又AD⊂平面ABD，∴AD⊥DC.2.(2018·江苏)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.证明(1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC＝B，A1B，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC.因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.3.(2018·全国Ⅱ)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点.(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离.(1)证明因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.如图，连接OB.因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，所以OB⊥AC，OB＝AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.因为OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，OB，AC⊂平面ABC，所以PO⊥平面ABC.(2)解作CH⊥OM，垂足为H，又由(1)可得OP⊥CH，因为OM∩OP＝O，OM，OP⊂平面POM，所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题意可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°，所以在△OMC中，由余弦定理可得，OM＝，CH＝＝.所以点C到平面POM的距离为.考点二几何体的表面积、体积方法技巧(1)空间几何体的表面积是各个面的面积之和，求解时可利用相应的面积公式计算.(2)几何体体积的常用解法①直接法；②割补法；③等积转换法.4.(2018·全国Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q－ABP的体积.(1)证明由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC.又BA⊥AD，AC∩AD＝A，AD，AC⊂平面ACD，所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.(2)解由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3.又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2.如图，过点Q作QE⊥AC，垂足为E，则QE∥DC且QE＝DC.由(1)知平面ACD⊥平面ABC，又平面ACD∩平面ABC＝AC，CD⊥AC，CD⊂平面ACD，所以DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.因此，三棱锥Q－ABP的体积VQ－ABP＝×S△ABP×QE＝××3×2sin45°×1＝1.5.如图，在棱长均为4的三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分别是BC和B1C1的中点.(1)求证：A1D1∥平面AB1D；(2)若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC＝60°，求三棱锥B1－ABC的体积.(1)证明连接DD1，在三棱柱ABC－A1B1C1中， D，D1分别是BC和B1C1的中点，∴B1D1∥BD，且B1D1＝BD，∴四边形B1BDD1为平行四边形，∴BB1∥DD1，且BB1＝DD1.又 AA1∥BB1，AA1＝BB1，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，∴四边形AA1D1D为平行四边形，∴A1D1∥AD.又 A1D1⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D，∴A1D1∥平面AB1D.(2)解在△ABC中，边长均为4，则AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC. 平面ABC⊥平面B1C1CB，平面ABC∩平面B1C1CB＝BC，AD⊂平面ABC...
