（通用版）2016年高考数学二轮复习专题八立体几何第1讲三视图与几何体的面积与体积考题溯源教材变式理真题示例对应教材题材评说(2015·高考全国卷Ⅱ，5分)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.B.C.D．(必修2P28A组T3)如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比.同一个问题分别用原直观图与三视图表示，相互映衬，堪称美妙.[教材变式训练]一、选择题[变式1](必修2P22B组T2改编)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线为某多面体的三视图，则该多面体的体积为()A.B.C.D．解析：选C.该三视图对应的几何体为正八面体，棱长为2，它的体积为两个同底同高的正四棱锥体积之和，∴该多面体的体积为2××(2)2×2＝，故选C.[变式2](必修2P27例4改编)如图，圆柱O1O2的底面直径与高都等于球O的直径，圆锥O1O的底面圆是球O的大圆，顶点是圆柱上底的中心O1，记圆锥O1O，球O，圆柱O1O2的体积分别为V圆锥O1O，V球O，V圆柱O1O2，则V圆锥O1O∶V球O∶V圆柱O1O2为()A．1∶6∶12B．1∶12∶14C．1∶4∶6D．3∶8∶24解析：选C.设球O的半径为R，∴V球O＝πR3，V圆柱O1O2＝πR2(2R)＝2πR3，V圆锥O1O＝πR2·R＝πR3，∴V圆锥O1O∶V球O∶V圆柱O1O2＝1∶4∶6，故选C.[变式3](必修2P28A组T3改编)从一个正方体中截去部分几何体，得到一个以原正方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图，则该几何体体积为()A．5B．6C．9D．10解析：选C.由三视图知，该几何体为四棱锥B1A1BCD1，如图所示，∴V四棱锥B1A1BCD1＝V正方体ABCDA1B1C1D1V三棱柱ABA1DCD1V三棱锥C1B1CD1＝3×3×3－×3×3×3－××3×3×3＝9.[变式4](必修2P32球体的体积改编)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.πB．πC．8πD．16π解析：选B.由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个圆锥，其体积为π×22×2－π×22×2＝π，故选B.[变式5](必修2P36B组T1改编)由八个面围成的几何体，每一个面都是正三角形，并且有四个顶点A、B、C、D在同一个平面内，ABCD是边长为1的正方形，则该几何体的体积为()A.B．C.D．解析：选B.该几何体的六个顶点分别是正方体的六个面的中心，如图，P到平面ABCD的距离为h＝＝＝.∴该几何体体积V＝×12××2＝.[变式6](必修2P37B组T2改编)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()A.cm3B．cm3C.cm3D．cm3解析：选A.如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．设球的半径为Rcm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，∴V球＝π×53＝(cm3)．二、填空题[变式7](必修2P21A组T2(4)改编)如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图、侧视图都是由边长为4和6的矩形以及直径等于4的圆组成，俯视图是直径等于4的圆，该几何体的体积是________．解析：由题意得，此几何体为圆柱与球的组合，其体积V＝π×23＋π×22×6＝.答案：[变式8](必修2P35A组T5、选修4－5P10T14改编)已知圆柱内接于半径为1的球，则圆柱的侧面面积的最大值为________．解析：如图所示，该圆柱上、下底面圆心连线的中点M即为外接球的球心，设AB为下底面圆的一条直径，设∠MAO＝α，∵MA＝1，∴MO＝sinα，AO＝cosα，∴OO′＝2sinα，∴该圆柱侧面积S＝2πAO·OO′，∴S＝2π·2sinαcosα＝2πsin2α，∴当α＝时，Smax＝2π.答案：2π[变式9](必修2P27练习T1改编)已知圆锥的侧面积为am2，且它的侧面展开图为半圆，则圆锥的体积为________m3.解析：圆锥的直观图与侧面展开图如图所示．设圆锥的底面半径为r，母线为l则πrl＝a，①2πr＝πl，②联①②解得r＝，l＝2，∴OO1＝＝·，∴圆锥的体积V＝πr2·OO1＝π··＝.答案：[变式10](必修2P30B组T3)分别以一个直角三角形的斜边，两直角边为轴，其余各边旋转一周所得的几何体的体积分别记为V，V1与V2，则V与V1，V2的关系是________．解析：设直角三角形的两个直角边长分别为a，b.斜边为c，则V1＝πb2a，V2＝πa2b，V＝π()2·c＝π·.只需找到b2a，a2b与的关系即可．∵c2＝a2＋b2，∴＝，即＝，＝＋＝＋.即＝＋.答案：＝＋
