（通用版）2016年高考数学二轮复习专题八立体几何第3讲空间向量与立体几何专题强化训练理(时间：45分钟满分：60分)1．(2015·高考全国卷Ⅰ，12分)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．解：(1)证明：如图，连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.在Rt△FDG中，可得FG＝.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，所以EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(2)如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC的方向为x轴，y轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz.由(1)可得A(0，－，0)，E(1，0，)，F，C(0，，0)，所以AE＝(1，，)，CF＝.故cos〈AE，CF〉＝＝－.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.2.如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2BC＝2，CD＝，平面PAD⊥底面ABCD，若M为AD的中点，E是棱PC上的点．(1)求证：平面EBM⊥平面PAD；(2)若∠MEC＝90°，求二面角PBME的余弦值．解：(1)证明： M是AD的中点，且AD＝2，∴MD＝1，又 AD∥BC，BC＝1，∴四边形MBCD为平行四边形． ∠ADC＝90°，DC∥MB，∴∠AMB＝90°，即BM⊥AD. 平面PAD⊥平面ABCD，BM⊂平面ABCD，∴BM⊥平面PAD.∴平面EBM⊥平面PAD.(2) △PAD是正三角形，M为AD中点，∴PM⊥AD.又 平面PAD⊥平面ABCD，∴PM⊥平面ABCD.如图，以M为原点，以MA，MB，MP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Mxyz，则A(1，0，0)，B(0，，0)，P(0，0，)，C(－1，，0)，PC＝(－1，，－)， E在PC上，设CE＝λCP(0<λ<1)，∴ME－MC＝λ(MP－MC)．∴ME＝(λ－1，－λ，λ)． ME·PC＝0，∴λ＝.∴ME＝.设平面MBE的法向量为n＝(x，y，z)，则ME·n＝0，MB·n＝0，即令x＝4，∴n＝(4，0，)．又平面PMB的一个法向量为n1＝(1，0，0)，∴cos〈n，n1〉＝＝.设平面PMB与平面EMB所成的角为θ，则cosθ＝.3.如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1上的动点，F是AB的中点，AC＝1，BC＝2，AA1＝4.(1)当E是棱CC1的中点时，求证：CF∥平面AEB1；(2)在棱CC1上是否存在点E，使得二面角AEB1B的余弦值是？若存在，求CE的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：取AB1的中点G，连接EG，FG. F，G分别是棱AB，AB1的中点，∴FG∥BB1，FG＝BB1.又FG∥EC，EC＝CC1，FG＝EC，∴四边形FGEC是平行四边形．∴CF∥EG. CF⊄平面AEB1，EG⊂平面AEB1，∴CF∥平面AEB1.(2)以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为x轴、y轴、z轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则C(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(0，2，4)．设E(0，0，m)(0≤m≤4)，平面AEB1的法向量n1＝(x，y，z)，则AB1＝(－1，2，4)，AE＝(－1，0，m)．由AB1⊥n1，AE⊥n1，得令z＝2，则可取n1＝(2m，m－4，2)．连接BE， CA⊥平面C1CBB1，∴CA是平面EBB1的一个法向量．令n2＝CA， 二面角AEB1B的余弦值为，∴＝cos〈n1，n2〉＝＝.解得m＝1(0≤m≤4)．∴在棱CC1上存在点E，符合题意，此时CE＝1.4.如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．解：(1)证明：易知，AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB＝t，则相关各点的坐标为A(0，0，0)，B(t，0，0)，B1(t，0，3)，C(t，1，0)，C1(t，1，3)，D(0，3，0)，D1(0，3，3)．从而B1D＝(－t，3，－3)，AC＝(t，1，0)，BD＝(－t，3，0)．因为AC⊥BD，所以AC·BD＝－t2＋3＋0＝0.解得t＝或t＝－(舍去)．于是B1D＝(－，3，－3)，AC＝(，1，0)．因为AC·B1D＝－3＋3＋0＝0，所以AC⊥B1D，即AC⊥B1D.(2)由(1)知，AD1＝(0，3，3)，AC＝(，1，0)，B...
