课时作业8全称量词与存在量词时间：45分钟——基础巩固类——1．下列不是全称量词的是(D)A．任意一个B．所有的C．每一个D．很多解析：很明显A，B，C中的量词均是全称量词，D中的量词不是全称量词．2．下列不是存在量词的是(D)A．有些B．至少有一个C．有一个D．所有解析：A，B，C中的量词都是存在量词，D中的量词是全称量词，故选D.3．下列命题：(1)今天有人请假；(2)中国所有的江河都流入太平洋；(3)中国公民都有受教育的权利；(4)每一个中学生都要接受爱国主义教育；(5)有人既能写小说，也能搞发明创造；(6)任何一个数除0都等于0.其中是全称量词命题的个数是(D)A．1B．2C．3D．4解析：(2)(3)(4)(6)都含有全称量词．4．“xy≠0”的含义是(A)A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0C．x，y至少有一个不为0D．x，y不都是0解析：xy≠0即x，y均不为0，故选A.5．“对x∈R，关于x的不等式f(x)>0有解”等价于(A)A．∃x0∈R，使f(x0)>0成立B．∃x0∈R，使f(x0)≤0成立C．∀x∈R，有f(x)>0成立D．∀x∈R，有f(x)≤0成立解析：对任意x∈R，关于x的不等式f(x)>0有解，即不等式f(x)>0在实数范围内有解，所以与命题“∃x0∈R，使f(x0)>0成立”等价．6．命题“∀x∈{x|1≤x≤3}，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(C)A．a≥9B．a≤9C．a≥10D．a≤10解析：当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，其中1≤x≤3.又y＝x2在{x|1≤x≤3}上的最大值是9，所以a≥9.因为a≥9⇒a≥10，a≥10⇒a≥9，故选C.7．下列命题中，是真命题的是(A)A．∀x∈R，x2＋2>0B．∃x0∈R，x＋x0＝－2C．∀x∈R，x2－x＋>0D．∃x0∈R，x＋2x0＋2<0解析：对于A选项：∀x∈R，x2＋2>0恒成立，A正确；对于B选项：因为x2＋x＋2＝2＋>0恒成立，所以不存在x0∈R，使x＋x0＝－2，B错误；对于C选项：因为x2－x＋＝2，存在x0＝，使x－x0＋＝0，C错误；对于D选项：∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0恒成立，所以不存在x0∈R，使x＋2x0＋2<0，D错误．8．已知∀x∈{x|0≤x≤2}，m>x，∃x∈{x|0≤x≤2}，n>x，那么m，n的取值范围分别是(C)A．m∈{m|m>0}，n∈{n|n>0}B．m∈{m|m>0}，n∈{n|n>2}C．m∈{m|m>2}，n∈{n|n>0}D．m∈{m|m>2}，n∈{n|n>2}9．对每一个x1∈R，x2∈R，且x1
0”用“∃”写成存在量词命题为∃x∈R，x<0，(1＋x)(1－9x2)>0.11．已知命题p：∃x∈R，ax2＋2x＋1≤0是假命题，则实数a的取值范围是a>1.解析：命题p：∃x∈R，ax2＋2x＋1≤0是假命题，即“ax2＋2x＋1>0”是真命题．①当a＝0时，①不成立，当a≠0时，要使①成立，必须解得a>1，故实数a的取值范围为a>1.12．用符号“∀”“∃”表示下列含有量词的命题：(1)自然数的平方大于零；(2)存在一对整数，使2x＋4y＝3；(3)存在一个无理数，它的立方是有理数．解：(1)∀x∈N，x2>0.(2)∃x∈Z，y∈Z,2x＋4y＝3.(3)∃x∈R，x∉Q，x3∈Q.13．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈{x|1≤x≤2}，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．解：由题意知，x2＋2ax＋2－a>0在{x|1≤x≤2}上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则只需f(1)>0或f(2)>0，即1＋2a＋2－a>0，或4＋4a＋2－a>0.整理得a>－3或a>－2.即a>－3.故参数a的取值范围为{a|a>－3}．——能力提升类——14．下列命题中，全称量词命题是①②③；存在量词命题是④(填序号)．①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称量词命题；②可表述为“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”，是全称量词命题；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”，是全称量词命题；④是存在量词命题．15．若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，求实数a的取值范围．解：若x>0，由|x|>ax得a<＝1，若x<0，由|x|>ax得a>＝－1，若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|>ax，则实数a的取值范围是－1
