第一章集合与常用逻辑用语1.2常用逻辑用语1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定课后篇巩固提升基础达标练1.命题p:“∀x∈R,x2+2x+m>0”的否定为()A.∃x∈R,x2+2x+m>0B.∃x∈R,x2+2x+m≤0C.∀x∈R,x2+2x+m<0D.∀x∈R,x2+2x+m≤0答案B2.针对我校某次考试有关的命题p:所有理科学生都会做第1题,那么命题p的否定是()A.所有理科学生都不会做第1题B.存在一个理科学生不会做第1题C.存在一个理科学生会做第1题D.至少有一个理科学生会做第1题答案B3.命题“∃x∈N,x3
4”的否定是.答案∀x∈R,|2-x|+|x+3|≤48.命题p是“对任意实数x,有x-a>0或x-b≤0”,其中a,b是常数.(1)写出命题p的否定.(2)当a,b满足什么条件时,命题p的否定为真?解(1)命题p的否定:存在实数x,有x-a≤0且x-b>0.(2)要使命题p的否定为真,需要使不等式组{x-a≤0,x-b>0的解集不为空集,通过画数轴可看出,a,b应满足的条件是b0解析A.p:有的四边形的内角和不是360°,是假命题.B.q:∀x∈R,x2+2x+2>0,真命题,这是由于∀x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0恒成立.C.r:∀x∈{x|x是无理数},x2不是无理数,假命题.D.s:存在实数a,使|a|≤0,真命题.答案BD2.已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x∈R,x2+2ax+4=0”.若命题p和命题q都是真命题,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-2]∪{1}B.(-∞,-2]∪[1,2]C.[1,+∞)D.[2,+∞)解析若∀x∈[1,2],x2-a≥0,则a≤x2,∴a≤1.若∃x∈R,x2+2ax+4=0,则Δ=(2a)2-16≥0,解得a≤-2或a≥2.∵命题p和命题q都是真命题,∴{a>1,a≤-2或{a>1,a≥2,∴a≥2,即a的取值范围是[2,+∞).答案D3.命题“存在实数x,y,使得x+y>1”,用符号表示为,此命题的否定是,是命题(填“真”或“假”).解析此命题用符号表示为∃x,y∈R,x+y>1,此命题的否定是∀x,y∈R,x+y≤1,原命题为真命题,所以它的否定为假命题.答案∃x,y∈R,x+y>1∀x,y∈R,x+y≤1假4.已知命题p:∃x>0,x+a-1=0,若p为假命题,则a的取值范围是.解析因为p为假命题,所以命题p的否定:∀x>0,x+a-1≠0是真命题,所以x≠1-a,所以1-a≤0,所以a≥1.答案[1,+∞)5.写出下列命题的否定并判断其真假.(1)不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根;(2)某些梯形的对角线互相平分;(3)被8整除的数能被4整除.解(1)这一命题可以表述为p:“对所有的实数m,方程x2+x-m=0都有实数根”,其否定是p:“存在实数m,使得x2+x-m=0没有实数根”.注意到当Δ=1+4m<0,即m<-14时,一元二次方程没有实根,因此p是真命题.(2)命题的否定:任何一个梯形的对角线都不互相平分,是真命题.(3)命题的否定:存在一个数能被8整除,但不能被4整除,是假命题.6.已知命题p:∀x∈R,x2+(a-1)x+1≥0,命题q:∃x0∈R,ax02-2ax0-3>0,若p假q真,求实数a的取值范围.解因为命题p是假命题,所以p:∃x0∈R,x02+(a-1)x0+1<0是真命题,则(a-1)2-4>0,解得a<-1或a>3.因为命题q:∃x0∈R,ax02-2ax0-3>0是真命题.所以当a=0时,-3<0,不合题意;当a<0时,(-2a)2+12a>0,所以a<-3.当a>0时,函数y=ax2-2ax-3的图像开口向上,一定存在满足条件的x0.故a<-3或a>0.综上,a的取值范围是(-∞,-3)∪(3,+∞).素养培优练已知命题p:“至少存在一个实数x∈[1,2],使不等式x2+2ax+2-a>0成立”的否定为假命题,试求实数a的取值范围.解由题意知,命题p为真命题,即x2+2ax+2-a>0在[1,2]上有解,令y=x2+2ax+2-a,则只需x=1或x=2时,y>0即可,∴1+2a+2-a>0或4+4a+2-a>0,解得a>-3或a>-2,即a>-3.故实数a的取值范围为(-3,+∞).
