第13课时函数的奇偶性提能达标过关一、选择题1．(2019·贵阳高一检测)已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数解析：选B∵x∈(－a，a)关于原点对称，且F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．∴F(x)是偶函数．故选B．2．(2019·长春高一检测)若函数f(x)＝为奇函数，则a等于()A．B．C．D．1解析：选A函数f(x)的定义域为.又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a＝.故选A．3．函数y＝的大致图象是()解析：选A当x＝0时，y＝0，排除D；当x>0时，y>0，排除B，C，故选A．4．已知函数f(x)，g(x)都是R上的奇函数，且F(x)＝f(x)＋3g(x)＋5.若F(a)＝b，则F(－a)＝()A．－b＋10B．－b＋5C．b－5D．b＋5解析：选A依题意有F(a)＝f(a)＋3g(a)＋5＝b，∴f(a)＋3g(a)＝b－5.∴F(－a)＝f(－a)＋3g(－a)＋5＝－[f(a)＋3g(a)]＋5＝－(b－5)＋5＝－b＋10.故选A．5．若函数f(x)＝(ax＋1)(x－a)为偶函数，且函数y＝f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为()A．±1B．－1C．1D．0解析：选C∵f(x)＝(ax＋1)(x－a)＝ax2＋(1－a2)x－a为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即f(－x)＝ax2－(1－a2)x－a＝ax2＋(1－a2)x－a，∴2(1－a2)x＝0.∵x不恒为0，∴1－a2＝0.∴a＝±1.当a＝1时，f(x)＝x2－1，在x∈(0，＋∞)上单调递增，满足题意；当a＝－1时，f(x)＝1－x2，在x∈(0，＋∞)上单调递减，不符合题意，故a＝1即为所求．故选C．二、填空题6．(2019·连云港高一检测)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.解析：由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，又f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.答案：－57．设f(x)是R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)＝________.解析：依题意得f(7.5)＝f(5.5＋2)＝－f(5.5)＝－f(3.5＋2)＝f(3.5)＝f(1.5＋2)＝－f(1.5)＝－f(－0.5＋2)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.答案：－0.58．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．解析：由题意，知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，所以其图象与x轴的四个交点也两两成对关于y轴对称．即方程f(x)＝0的实根两两互为相反数，故其所有实根之和是0.答案：0三、解答题9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；(5)f(x)＝解：(1)f(x)的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(2)f(x)的定义域是{－1,1}，关于原点对称，且f(－1)＝f(1)＝0，∴f(－1)＝f(1)，且f(－1)＝－f(1)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(4)f(x)的定义域为R.又f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(5)若x>0，则－x<0，f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3＝－x2＋2x－3；若x＝0，则－x＝0，f(－x)＝f(0)＝0；若x<0，则－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3.综上所述，f(－x)＝∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．10．已知函数f(x)对任意的x，y∈R，总有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.(1)求f(0)的值；(2)试判断f(x)在R上的奇偶性和增减性；(3)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．解：(1)令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.(2)令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴0＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．任取x10，∴f(x2－x1)<0，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，∴f(x2)
