第2课时函数的最大(小)值课时过关·能力提升基础巩固1.函数f(x)=x+1在x∈[-1,1]上的最大值为()A.-1B.0C.1D.2解析:∵f(x)=x+1在x∈[-1,1]上单调递增,∴f(x)max=f(1)=2.答案:D2.已知函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是()A.f(-2),0B.0,2C.f(-2),2D.f(2),2解析:由图象可知,该函数的最小值为f(-2),最大值为f(1)=2.答案:C3.函数y=-x2-4x+1,x∈[-3,3]的值域是()A.(-∞,5]B.[5,+∞)C.[-20,5]D.[4,5]解析:∵f(x)的图象开口向下,对称轴为x=-2,∴f(x)max=f(-2)=5,f(x)min=f(3)=-20.答案:C4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x,其中销售量单位:辆.若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为()A.90万元B.120万元C.120.25万元D.60万元解析:设在甲地销售了x辆,则在乙地销售了(15-x)辆,所获得利润为y万元,则由已知得y=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30,其图象对称轴为x=192.由x∈N得,当x=9或10时,ymax=120万元.答案:B5.函数f(x)=4x-1,x∈[12,1]的值域是.解析:f(x)=4x-1在[12,1]上是增函数,则f(12)≤f(x)≤f(1).又f(12)=4×12-1=1,f(1)=4×1-1=3,故1≤f(x)≤3.答案:[1,3]6.函数y=x-1x在x∈[1,2]上的最小值为.解析:由函数单调性的定义知y=x-1x在x∈[1,2]上为增函数.故当x=1时,函数y取最小值为0.答案:07.函数f(x)=x2+2x-3在x∈[-2,2]上的最大值为.解析:f(x)的图象开口向上,且对称轴为x=-1,故f(-2),f(2)中的一个值为最大值.又f(-2)=4-4-3=-3,f(2)=4+4-3=5,∴f(x)在[-2,2]上的最大值为5.答案:58.把长为12cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正方形,求这两个正方形面积之和的最小值.解:设一个正方形的边长为xcm,两个正方形的面积和为Scm2,则另一个正方形的边长为12-4x4=3-x(cm),0
0,x1-1>0,x2-1>0.∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)1)上的最小值是14,则b=.解析:∵f(x)在[1,b]上是减函数,∴f(x)在[1,b]上的最小值为f(b)=1b=14,∴b=4.答案:44.若函数f(x)=x2+bx+1的最小值是0,则实数b=.解析:f(x)是二次函数,二次项系数1>0,则f(x)的最小值为f(-b2)=b24−b22+1=0,解得b=±2.答案:±2★5.记min{a,b}={a,a≤b,b,a>b.若f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为.答案:66.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需要增加投入100元,最大月产量是400台.已知总收益满足函数R(x)=400x-12x2,其中x是仪器的月产量(单位:台).(1)将利润y(单位:元)表示为月产量x(单位:台)的函数;(2)当月产量为何值时,公司所获得利润最大?最大利润为多少?(总收益=总成本+利润)解:(1)设月产量为x台时,利润为y元,则总成本为(20000+100x)元,所以y=R(x)-(20000+100x)=400x-12x2-20000-100x=-12x2+300x-20000,0≤x≤400.(2)由(1)得y=-12(x-300)2+25000,当x=300时,y有最大值25000,即当月产量为300台时,公司所获得利润最大,最大利润为25000元.★7.求函数y=x2-2ax-1在[0,2]上的最值.解:y=(x-a)2-1-a2.当a<0时,[0,2]是函数的递增区间,如图①.故函数在x=0时取得最小值-1,在x=2时取得最大值3-4a.当0≤a≤1时,结合函数图象(如图②)知,函数在x=a时取得最小值-a2-1,在x=2时取得最大值3-4a.当12时,[0,2]是函数的递减区间,如图④.函数在x=0时取得最大值-1,在x=2时取得最小值3-4a.
