课时分层作业(三十二)同角三角函数关系(建议用时：40分钟)一、选择题1．若sinθ＝－，tanθ＜0，则cosθ＝()A．B．C．－D．或－B[∵sinθ＝－＜0，tanθ＜0．∴θ为第四象限角，∴cosθ＝＝．]2．(1＋tan2α)·cos2α＝()A．1B．1＋sin2αC．tan2αD．1＋cos2αA[原式＝·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1．]3．已知sinα＝，则sin4α－cos4α＝()A．B．－C．D．－D[∵sinα＝，∴sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)(sin2α＋cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝2×－1＝－．]4．已知α是第二象限角，tanα＝－，则cosα＝()A．－B．－C．－D．－C[∵tanα＝＝－，∴cosα＝－2sinα．又sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1，又α为第二象限角，∴cosα＜0，∴cosα＝－．]5．已知＝5，则sin2α－sinαcosα＝()A．B．－C．D．－A[由题意知cosα≠0，则由＝5，得＝5，即tanα＝2．所以sin2α－sinαcosα＝＝＝．]二、填空题6．已知α是第三象限角，化简：－＝．－2tanα[原式＝－＝－＝－．∵α是第三象限角，∴cosα＜0．∴原式＝－＝－2tanα．]7．若sinα＋cosα＝，则tanα＋的值为．2[tanα＋＝＋＝．又sinα＋cosα＝，∴sinαcosα＝，∴tanα＋＝2．]8．已知0<α<π，sinαcosα＝－，则sinα－cosα的值等于．[∵sinαcosα<0,0<α<π，∴sinα>0，cosα<0，∴sinα－cosα>0，∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝，∴sinα－cosα＝．]三、解答题9．已知＝，α∈．(1)求tanα的值；(2)求的值．[解](1)由＝，得3tan2α－2tanα－1＝0，即(3tanα＋1)(tanα－1)＝0，解得tanα＝－或tanα＝1．因为α∈，所以tanα<0，所以tanα＝－．(2)由(1)，得tanα＝－，所以＝＝＝．10．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1．[证明]因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2，所以＋1＝2，所以＝，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，即sin2β＝2sin2α－1．1．若sinθ＝，cosθ＝，θ是第四象限的角，则m的值为()A．0B．8C．0或8D．30)上，则＋＝．0[∵＋＝＋．又角α的终边落在x＋my＝0(m>0)上，故角α的终边在第二、四象限．当α在第二象限时，sinα>0,cosα<0，原式＝＋＝0；当α在第四象限时，sinα<0,cosα>0，原式＝＋＝0．]4．已知0<α<，若cosα－sinα＝－，则的值为．[因为cosα－sinα＝－，①所以1－2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝．所以(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋＝．又0<α<，所以sinα＋cosα>0．所以sinα＋cosα＝．②由①②得sinα＝，cosα＝，tanα＝2，所以＝．]5．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋2m＝0的两根为sinθ和cosθ(θ∈(0，π))，求：(1)m的值；(2)＋的值；(3)方程的两根及此时θ的值．[解](1)由根与系数的关系可知，sinθ＋cosθ＝，①sinθ·cosθ＝m．②将①式平方得1＋2sinθcosθ＝，所以sinθcosθ＝，代入②得m＝．(2)＋＝＋＝＝sinθ＋cosθ＝．(3)因为已求得m＝，所以原方程化为2x2－(＋1)x＋＝0，解得x1＝，x2＝．所以或又因为θ∈(0，π)，所以θ＝或θ＝．
