3.1.3两角和与差的正切[学生用书P122(单独成册)])[A基础达标]1．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)等于()A．3B．－3C．D．－解析：选C．tan(α－β)＝＝＝.2．计算等于()A．B．C．1D．解析：选A．＝＝tan30°＝.3．若＝，则tan＝()A．－2B．2C．－D．解析：选C．因为＝，所以＝，所以tanα＝－3.所以tan＝＝＝－.4．已知tanα＝，tan(α－β)＝－，那么tan(β－2α)的值为()A．－B．－C．－D．解析：选B．tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan[α＋(α－β)]＝－＝－＝－.5．若α＋β＝，则(1－tanα)(1－tanβ)等于()A．B．2C．1＋D．2(tanA＋tanB)解析：选B．由题可得tan(α＋β)＝＝－1，所以tanα＋tanβ＝－1＋tanαtanβ，即2＝1－tanα－tanβ＋tanαtanβ＝(1－tanα)(1－tanβ)．6．若tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1，则cos(A＋B)＝________．解析：由tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1，得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，所以A＋B＝kπ＋π，k∈Z，所以cos(A＋B)＝±.答案：±7．tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝________．解析：原式＝tan10°·tan20°＋tan60°(tan20°＋tan10°)＝tan10°·tan20°＋×(1－tan10°tan20°)＝1.答案：18．化简的结果为________．解析：原式＝＝＝tanβ.答案：tanβ9．已知tan＝，tan＝2.求：(1)tan；(2)tan(α＋β)．解：(1)tan＝tan＝＝＝－.(2)tan(α＋β)＝tan＝＝＝2－3.10．已知A＋B＝45°，求证：(1＋tanA)(1＋tanB)＝2，并应用此结论求(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan43°)·(1＋tan44°)的值．解：因为tanA＋tanB＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)且A＋B＝45°，即tanA＋tanB＝1－tanAtanB，所以(1＋tanA)(1＋tanB)＝tanA＋tanB＋1＋tanAtanB＝1－tanAtanB＋1＋tanAtanB＝2，即(1＋tanA)(1＋tanB)＝2.因为1°＋44°＝45°，2°＋43°＝45°，…，22°＋23°＝45°，所以(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝2，(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝2，…，(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2，所以原式＝＝222.[B能力提升]1．如图，三个相同的正方形相接，则α＋β的大小为________．解析：设正方形边长为1，则tanα＝，tanβ＝.所以tan(α＋β)＝＝＝1.又0<α＋β<π，所以α＋β＝.答案：2．已知tan＝2，则的值为________．解析：由tan＝＝2，得tanα＝，所以＝＝＝＝.答案：3．已知tanA与tan是关于x的方程x2＋px＋q＝0的解，若3tanA＝2tan，求p和q的值．解：设t＝tanA，则tan＝＝，由3tanA＝2tan，得3t＝，解得t＝或t＝－2.当t＝时，tan＝＝，p＝－＝－，q＝tanAtan＝×＝；当t＝－2时，tan＝＝－3，p＝－＝5，q＝tanAtan＝6.所以p，q的值为或4．(选做题)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边的两个锐角为α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点，已知A，B两点的横坐标分别是和.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解：(1)由单位圆中三角函数的定义，可得cosα＝，cosβ＝.由于α，β为锐角，所以sinα＝＝，sinβ＝＝.从而tanα＝7，tanβ＝，所以tan(α＋β)＝＝＝－3.(2)因为tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝＝＝－1，又0＜α＜，0＜β＜，所以0＜α＋2β＜，从而α＋2β＝.
