高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的三角函数 3.1.1 两角和与差的余弦应用案巩固提升 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题VIP免费

3.1.1两角和与差的余弦[学生用书P120(单独成册)])[A基础达标]1．coscos－sin·sin＝()A．B．C．D．1解析：选B．coscos－sinsin＝cos＝cos＝，故选B．2．若cos5xcos(－2x)－sin(－5x)sin2x＝0，则x的值可能是()A．B．C．D．解析：选B．因为cos5xcos(－2x)－sin(－5x)·sin2x＝cos5xcos2x＋sin5xsin2x＝cos(5x－2x)＝cos3x＝0，所以3x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，所以当k＝0时，x＝.3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cosα＝，sinβ＝－，则cos(α－β)的值为()A．－B．－C．D．解析：选A．因为α为锐角，且cosα＝，所以sinα＝＝.因为β为第三象限角，且sinβ＝－，所以cosβ＝－＝－，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝－.故选A．4．若sinαsinβ＝1，则cos(α－β)＝()A．0B．1C．±1D．－1解析：选B．由sinαsinβ＝1可知，sinα＝1，sinβ＝1或sinα＝－1，sinβ＝－1，此时均有cosα＝cosβ＝0，从而cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝0＋1＝1.5．已知锐角α，β满足cosα＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为()A．B．－C．D．－解析：选A．因为α，β为锐角，cosα＝，cos(α＋β)＝－，所以sinα＝，sin(α＋β)＝，所以cos(2π－β)＝cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝×＋×＝.6．已知cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝－，且180°＜α＜270°，则tanα等于__________．解析：由已知知cos[(α＋β)－β]＝－，即cosα＝－.又180°＜α＜270°，所以sinα＝－，所以tanα＝＝.答案：7．若三角形两内角α，β满足tanα·tanβ＞1，则这个三角形是__________．解析：因为tanα·tanβ＞1，所以α，β均为锐角，＞1，所以cosαcosβ－sinαsinβ＜0，即cos(α＋β)＜0，所以α＋β为钝角，π－(α＋β)为锐角．所以这个三角形为锐角三角形．答案：锐角三角形8．已知x∈R，sinx－cosx＝m，则m的取值范围为________．解析：sinx－cosx＝＝＝cos，因为x∈R，所以x－∈R，所以－1≤cos≤1，所以－≤m≤.答案：－≤m≤9．求下列各式的值：(1)sin44°sin16°－cos44°cos16°；(2)cos80°cos35°＋cos10°cos55°.解：(1)原式＝－(cos44°cos16°－sin44°sin16°)＝－cos(44°＋16°)＝－cos60°＝－.(2)原式＝cos80°cos35°＋sin80°sin35°＝cos(80°－35°)＝cos45°＝.10．已知锐角α、β满足sinα＝，cosβ＝.(1)求cos(α－β)的值；(2)求α＋β的值．解：(1)因为sinα＝，α为锐角．所以cosα＝α＝＝；因为cosβ＝，β为锐角．所以sinβ＝＝＝，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.(2)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.因为α、β均为锐角，所以0<α＋β<π，所以α＋β＝.[B能力提升]1．已知sin＝，A∈，则cosA＝________．解析：由A∈，可知A＋∈，则cos＝－，cosA＝cos[－]＝cos·cos＋sinsin＝×＋×＝.答案：2．设a＝2cos66°，b＝cos5°－sin5°，c＝2(sin47°sin66°－sin24°sin43°)，则a，b，c的大小关系是________．解析：b＝cos5°－sin5°＝2＝2cos65°，c＝2(sin47°sin66°－sin24°sin43°)＝2(cos43°cos24°－sin24°sin43°)＝2cos67°.因为函数y＝cosx在[0°，90°]内是单调递减函数，且67°>66°>65°，所以cos67°a>c.答案：b>a>c3．已知函数f(x)＝Acos，x∈R，且f＝.(1)求A的值；(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．解：(1)由f＝得Acos＝，即A·cos＝，所以A＝2.(2)由(1)知f(x)＝2cos.由得解得因为α，β∈，所以cosα＝＝，sinβ＝＝，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.4．(选做题)已知sinα＋sinβ＝，求(cosα＋cosβ)2的取值范围．解：由sinα＋sinβ＝，平方可知，sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＝.①设cosα＋cosβ＝m，平方可知，cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝m2.②①＋②得sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＋cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝m2＋，整理得m2＝＋2cos(α－β)．又由于cos(α－β)∈[－1，1]，所以m2∈，即得0≤m2≤.所以(cosα＋cosβ)2的取值范围是.