第3章三角恒等变换3．1两角和与差的三角函数3．1.1两角和与差的余弦思考：cos(α－β)＝？有人认为cos(α－β)＝cosα－cosβ，对不对？令α＝，β＝－，则cos(α－β)＝cos＝0，cosα－cosβ＝cos－cos＝.有一个反例，就足以说明cos(α－β)≠cosα－cosβ.只有在某些特殊情况下，才有cos(α－β)＝cosα－cosβ.因此，切记，不能将cos(α－β)按分配律展开，那么cos(α－β)究竟等于什么？我们能用什么办法加以推导？1．两角差的余弦公式为________________________________．这个公式对任意的α、β都成立．答案：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ2．两角和的余弦公式为__________________________________．这个公式对任意角α、β都成立．答案：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ3．要理解好和差角，如：α＝(α＋β)－__________；2α＝(α＋β)＋________；2α＋β＝________＋α等．答案：βα－βα＋β4．cos(－15°)＝________．答案：5．cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝________．答案：两角和与差的余弦公式11．公式的特点．(1)公式的左边为复角：α＋β，α－β，右边为单角：α，β.(2)公式的右边为单角α与β的余弦与余弦的乘积加上(或减去)正弦与正弦的乘积(注意顺序)．(3)公式的左边与右边的“＋，－”号相反，掌握这些特点，有助于对公式的记忆．2．角α与β是任意角，因为其具有任意性，所以将两角差的余弦公式C(α－β)中的β换为－β，即得公式C(α＋β)．3．差角的余弦公式是后续各公式的基础，必须牢牢掌握其性质．如cos(A－B)＝cosAcosB＋sinAsinB；cos(θ－φ)＝cosθcosφ＋sinθsinφ；cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)·sinβ.两角和与差的余弦公式的应用(1)公式的正用、逆用问题，掌握公式的结构特征是先决条件．(2)角的变换问题：有时需要对角进行变换后才能使用公式．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β；α＝β＋(α－β)；α＝β－(β－α)；2α＝(α＋β)＋(α－β)等．1．下列等式中一定成立的是()A．cos(α＋β)＝cosα＋cosβB．cos(α－β)＝cosα－cosβC．cos＝cosαD．cos＝sinα答案：D2．cos的值是________．答案：3．cos43°cos77°＋sin43°cos167°的值为________．答案：－4．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，求cos的值．解析：∵0<α<，－<β<0，∴<＋α<π，<－<.2又∵cos＝，cos＝，∴sin＝，sin＝.∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.答案：5.的值为________．解析：原式＝＝＝－1.答案：－16．若α、β∈，cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)的值为________．解析：由α、β∈，则α－∈，－β∈，又cos＝，sin＝－，所以α－＝±，－β＝－.解得α＝β＝或α＝－，β＝，所以cos(α＋β)＝－或cos(α＋β)＝1.答案：－或17．已知：sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，求cos(α－β)的值．解析：由已知得：sinα＋sinβ＝－sinγ，①cosα＋cosβ＝－cosγ，②①2＋②2得：2cos(α－β)＋2＝1.即cos(α－β)＝－.8．已知α、β均为锐角，且cosα＝，cosβ＝，求α－β的值．解析：∵α，β均为锐角，∴sinα＝，sinβ＝.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.又∵sinα
