【优化指导】2015年高中数学2.2平面向量的线性运算习题课课时跟踪检测新人教A版必修4一、选择题1．O是△ABC内一点，且|OA|＝|OB|＝|OC|，则O是△ABC的()A．重心B．内心C．外心D．垂心解析：由于|OA|＝|OB|＝|OC|，即OA＝OB＝OC，所以O点到△ABC各顶点距离相等，所以O点是△ABC的外心．答案：C2．设e1，e2是不共线的两个向量，下列四组向量：①a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；②a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2；③a＝2e1－e2，b＝e1－e2；④a＝2e1，b＝－3e1.其中a与b共线的组数为()A．1B．2C．3D．4解析：①中b＝－2a；③中a＝2b；④中b＝－a；②中a与b不存在实数λ，使a＝λb，a与b不共线．答案：C3．已知点C在线段AB上，且AC＝AB，则AC等于()A.BCB.BCC．－BCD．－BC解析：AC＝AB⇒AB＝AC.∴AB＝AC＝AC－BC，∴AC＝－BC.答案：D4．平面上有三点A、B、C，设m＝AB＋BC，n＝AB－BC，若m、n的长度恰好相等，则有()A．A、B、C三点必在同一直线上B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°D．△ABC必为等腰直角三角形解析：∵|m|＝|n|，AB＋BC＝AB－CB，AB－BC＝AB＋CB，∴|AB－CB|＝|AB＋CB|，如图所示．即▱ABCD中，对角线相等，∴▱ABCD是矩形，且∠B＝90°，选C.答案：C二、填空题5．已知|AB|＝6，|CD|＝9，则|AB－CD|的取值范围是______．解析：∵||AB|－|CD||≤|AB－CD|≤|AB|＋|CD|，且|CD|＝9，|AB|＝6，∴3≤|AB－CD|≤15.当CD与AB同向时，|AB－CD|＝3；当CD与AB反向时，|AB－CD|＝15.1∴|AB－CD|的取值范围为[3,15]．答案：[3,15]6．已知e1，e2不共线，而a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝______.解析：由于a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，所以＝，所以3k2＋5k－2＝0.解得k＝－2或.答案：－2或7．设点O是△ABC内部一点，且OA＋OC＝－3OB，则△AOB与△AOC的面积之比为______．解析：如图所示，以OA，OC为邻边作平行四边形OAEC，则OE与AC交于AC的中点D，OA＋OC＝OE＝2OD，∴2OD＝－3OB，∴＝，显然＝，易知S△AOD＝S△AOC，∴＝.答案：1∶3三、解答题8．设平面内有四边形ABCD和O，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，若a＋c＝b＋d，试判断四边形ABCD的形状．解：∵a＋c＝b＋d，即OA＋OC＝OB＋OD.∴OA－OB＝OD－OC，即BA＝CD.∴BA綊CD.故四边形ABCD是平行四边形．9．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，求λ＋μ的值．解：设AB＝a，BC＝b，则AF＝a＋b，AE＝b＋a，AC＝a＋b，所以AC＝λAE＋μAF＝λ＋μ＝b＋a＝a＋b.又a，b不共线，所以解得λ＝μ＝，所以λ＋μ＝.10．如图所示，在▱OACB中，BD＝BC，OD与BA相交于E，用向量方法证明BE＝BA.证明：设OA＝a，OB＝b，则BD＝a，OD＝b＋a，BA＝a－b.在△BOE中，根据向量加法的三角形法则，有OE＝OB＋BE.∵BE，BA为共线向量，OE，OD为共线向量，设BE＝λBA，OE＝kOD，∴OE＝OB＋λBA＝b＋λ(a－b)＝λa＋(1－λ)b，OE＝kOD＝k，∴λa＋(1－λ)b＝kb＋a，2∴a＝(k－1＋λ)b.∵a与b为不共线的非零向量，∴λ－＝0，且k－1＋λ＝0.解得λ＝.∴BE＝BA，∴BE＝BA.3
