正弦函数、余弦函数的图像和性质一、教学具准备直尺、投影仪.二、教学目标1.理解sin,cosyxyx的周期性概念,会求周期.2.初步掌握用定义证明()yfx的周期为T的一般格式.三、教学过程1.设置情境自然界里存在着许多周而复始的现象,如地球的自转和公转,物理学中的单摆运动和弹簧振动、圆周运动等.数学里从正弦函数、余弦函数的定义可知,角的终边每转一周又会与原来的位置重合,故sin,cos的值也具有周而复始的变化规律.为定量描述这种周而复始的变化规律,今天,我们来学习一个新的数学概念——函数的周期性(板书课题)2.探索研究(1)周期函数的定义引导学生观察下列图表及正弦曲线x232202322sinx010－1010－10yOxπ2π232ππ11π253ππ274πynis=xx,∈Rπ2ππ232ππ253ππ274π正弦函数值当自变量增加或减少一定的值时,函数值就重复出现.联想诱导公式sin(2)sin()xkxkZ,若令()sinfxx则(2)()()fxkfxkZ,由这个例子,我们可以归纳出周期函数的定义:用心爱心专心对于函数()fx,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有()()fxTfx,那么函数()fx叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.如2,4,…及2,4,…都是正弦函数的周期.注意:周期函数定义中()()fxTfx有两点须重视,一是T是常数且不为零；二是等式必须对定义域中的每一个值时都成立.师:请同学们思考下列问题:①对于函数sin,yxxR有sin()sin424能否说2是正弦函数sinyx的周期.生:不能说2是正弦函数sinyx的周期,这个等式虽成立,但不是对定义域的每一个值都使等式sin()sin2xx成立,所以不符合周期函数的定义.②2()fxx是周期函数吗？为什么生:若是周期函数,则有非零常数T,使()()fxTfx,即22()xTx,化简得(2)0TxT,∴0T(不非零),或2Tx(不是常数),故满足非零常数T不存在,因而()fx不是周期函数.思考题:若T为()fx的周期,则对于非零整数k,kT也是()fx的周期.(课外思考)(2)最小正周期的定义师:我们知道…,4,2,2,4,…都是正弦函数的周期,可以证明2(0kk用心爱心专心且)kZ是()sinfxx的周期,其中2是()sinfxx的最小正周期.一般地,对于一个周期函数()fx,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数那么这个最小正数就叫做()fx的最小正周期.今后若涉及的周期,如果不加特别说明,一般都是指函数的最小正周期.依据定义,sinyx和cosyx的最小正周期为2.(3)例题分析例1.求下列函数的周期:(1)3cos,yxxR；(2)sin2,yxxR；(3)12sin(),26yxxR.分析:由周期函数的定义,即找非零常数T,使()()fxTfx.解:(1)因为余弦函数的周期是2,所以自变量x只要并且至少要增加到2x,余弦函数的值才能重复取得,函数3cos,yxxR的值也才能重复取得,从而函数3cos,yxxR的周期是2.即()3cos3cos(2)(2)fxxxfx,∴2T(2)令2zx,那么xR必须并且只需zR,且函数sin,yzzR的周期是2,就是说,变量z只要并且至少要增加到2z,函数sin,yzzR的值才能重复取得,而2222()zxx所以自变量x只要并且至少要增加到x,函数值就能重复取得,从而函数sin2,yxxR的周期是.即()sin2sin(22)()fxxxfx∴T(3)令126zx,那么xR必须并且只需zR,且函数2sin,yzzR的用心爱心专心周期是2,由于112()2(4)2626zxx,所以自变量x只要并且至少要增加到4x,函数值才能重复取得,即4T是能使等式112sin[()]2sin()2626xTx成立的最小正数,从而函数12sin(),26yxxR的周期是4.而111()sin()sin[()2]sin[(4)](4)262626fxxxxfx∴4T师:从上例可以看出,这些函数的周期仅与自变量x的系数有关,其规律如何？你能否求出函数sin(),yAxxR及函数cos(),yAxxR(其中,,A)为常数,且0A,0)的周期？生:22()sin()sin[()2]sin[()]()fxAxAxAxfx∴2T.同理可求得cos(),yAxxR的周期2T.例2....
