第2课时用二分法求方程的近似解学习目标核心素养1．通过实例理解二分法的概念．(难点)2．了解二分法是求方程近似解的常用方法．3．能够借助计算器用二分法求方程的近似解．(重点)通过学习本节内容，培养学生的逻辑推理的数学核心素养.1．二分法的定义对于在区间[a，b]上的图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(1)确定区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0.(2)求区间(a，b)的中点x1＝.(3)计算f(x1)．①若f(x1)＝0，x1就是函数的零点；②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1，此时零点x0∈(a，x1)；③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1，此时零点x0∈(x1，b)．(4)判断是否达到题目要求，即若达到，则得到零点近似值，否则重复步骤(2)～(4)．3．用“二分法”求方程的近似解时，应通过移项问题转化为求函数的零点近似值．如求f(x)＝g(x)的近似解时可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，将问题转化为求h(x)的零点近似值的问题．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．()(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．()(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．()(4)用“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×[提示]四句话都是错的．(1)中，二分法求出的解也有精确解，如f(x)＝x－1在(0,2)上用二分法求解时，中点为x＝1，而f(1)＝0.(2)中，f(x)＝|x|≥0，不能用二分法．(3)中，二分法求零点时，零点可以在等分区间后的右侧，也可以在左侧．(4)中f(x)在[a，b]内的近似解可能有多个，而二分法求解时，只须达到一定的精确度即可，故可能会漏掉一些，另外在等分区间后，中点的函数值与某一端点函数值同号时内部也未必没有零点，故采用“二分法”不一定求出函数的所有零点的近似解．2．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,3]上的零点的近似值，验证f(2)·f(3)＜0，取区间[2,3]的中点x1＝＝2.5，计算得f(2.5)·f(3)＞0，此时零点x0所在的区间是________．(2,2.5)[由于所以f(2)·f(2.5)＜0，所以x0∈(2,2.5)．]3．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()1A．(0,1)B．(1,2)C．(2,4)D．(4，＋∞)C[由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝6－0＝6>0，f(2)＝3－1＝2>0，f(4)＝－log24＝－2＝－<0，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点．]“二分法”求方程的近似解【例1】证明：方程6－3x＝2x在区间(1,2)内有唯一一个实数解，并求出该实数解．(精确到0.1)思路点拨：→→→[解]分别画出函数y＝2x和y＝6－3x的图象，如图所示：在两个函数图象的交点处，函数值相等，因此，这个点的横坐标就是方程6－3x＝2x的解．由函数y＝2x和y＝6－3x的图象可以发现，方程6－3x＝2x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(1,2)上．设f(x)＝2x＋3x－6，用二分法逐次计算，得：f(1)<0，f(2)>0⇒x1∈(1,2)，f(1)<0，f(1.5)>0⇒x1∈(1,1.5)，f(1)<0，f(1.25)>0⇒x1∈(1,1.25)，f(1.125)<0，f(1.25)>0⇒x1∈(1.125,1.25)，f(1.1875)<0，f(1.25)>0⇒x1∈(1.1875,1.25)，f(1.21875)<0，f(1.25)>0⇒x1∈(1.21875，1.25)，f(1.21875)<0，f(1.234375)>0⇒x1∈(1.21875，1.234375)．因为1.21875与1.234375精确到0.1的近似值都为1.2，所以原方程的近似解为x1≈1.2.1．由方程的解与函数零点的等价性知，用二分法求方程的近似解问题可通过构造函数，转化为求函数的零点近似值问题．2．求方程f(x)＝g(x)的近似值注意的问题：①确定初始区间时，一般采用图象法，作函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象，观察两个函数图象的交点的横坐标的取值范围；②实施二分法时，需构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，求F(x)＝0的近似解．21．求的近似值(精确到0.1)．[解]是x3＝2的根，因此可构造f(x)＝x3－2，问题转化为“求f(x)的零点的近似解”．用二分法求其零点．由f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0.故可取区间[1,2]为计算的初始区间．用二分法逐次计算，如...
