第2课时圆的一般方程学习目标核心素养1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(易错点)2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(重点、难点)通过学习本节内容来提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.1．圆的一般方程的定义(1)当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为，半径为．(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点．(3)当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．思考：圆的一般方程具有怎样的特点？提示：(1)x2，y2项的系数均为1；(2)没有xy项；(3)D2＋E2－4F>0.2．点与圆的位置关系已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表：位置关系代数关系点M在圆外x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0点M在圆上x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0点M在圆内x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<01.思考辨析(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．()(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．()(3)方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.()(4)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆应满足的条件是①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4F>0.()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0化为标准形式为________________________．(x－1)2＋(y＋2)2＝2[由x2＋y2－2x＋4y＋3＝0，得(x－1)2＋(y＋2)2＝2.故圆的标准形式为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.]3．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆，则m的取值范围是________．(－∞，1)[由题意可知，16＋(－2)2－20m＞0，解得m＜1.]4．点A(4，1)在圆x2＋y2－2y－19＝0________(填“内”，“外”“上”)．内[当x＝4，y＝1时，x2＋y2－2y－19＝42＋12－2×1－19＝－4＜0，故点A在圆内．]二元二次方程的曲线与圆的关系1【例1】下列方程能否表示圆？若能，求出圆心坐标和半径．(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；(2)x2－2xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－4y＝0；(5)ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0(a≠0)．思路探究：根据二元二次方程表示圆的条件判断．[解](1) A≠B，∴不能表示圆．(2) 方程中含有xy项，∴不能表示圆．(3) D2＋E2－4F＝(－2)2＋(－4)2－4×10<0，∴不能表示圆．(4)方程变形为x2＋y2－2y＝0.配方得x2＋(y－1)2＝1，故方程表示圆，其圆心为(0，1)，半径为1.(5)法一： a≠0，∴原方程可化为x2＋y2－x＋y＝0，即＋＝. >0，∴原方程表示圆，此时圆心坐标为，半径r＝.法二： a≠0，∴原方程可化为x2＋y2－x＋y＝0. D2＋E2－4F＝＋＝>0，∴原方程表示圆，此时圆心坐标为，半径r＝.形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正．若D2＋E2－4F>0，则方程表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．1．讨论方程x2＋y2＋2ay＋1＝0(a∈R)表示曲线的形状．[解]当a<－1或a>1时，此方程表示的曲线是圆心为(0，－a)，半径为的圆；当a＝±1时，此方程表示的曲线是一个点，坐标为(0，－a)；当－1
0)． 此圆过A，B，C三点，∴解得∴圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则②－①，③－①得解得a＝－2，b＝2.∴r2＝10.∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10.即圆的一般式方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.法三：AB的中垂线方程为y－1＝－(x－0)，BC的中垂线方程为y－2＝(x＋2)，联立解得圆心坐标为(－2，2)．设圆的半径为r，则r2＝(1＋2)2＋(3－2)2＝10，∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10，即圆的一般式方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.法四：由于kAB＝...
