3.2立体几何中的向量方法空间距离利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题．例１如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG的距离．解：如图，设CD4i，CB4j，CG2k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系C－xyz．由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．∴(2,0,0)BE�，(4,2,0)BF�，(0,4,2)BG�，(2,4,2)GE�，(2,2,0)EF�．设BM平面EFG，M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定理知，存在实数a、b、c，使得BMaBEbBFcBG�(1)abc，∴(2,0,0)(4,2,0)(0,4,2)BMabc�＝(2a+4b,－2b－4c,2c)．由BM平面EFG，得BMGE，BMEF，于是0BMGE�，0BMEF�．∴(24,24,2)(2,4,2)0(24,24,2)(2,2,0)01abbccabbccabc整理得：102305cbacbaca，解得1511711311abc．∴BM＝(2a+4b,－2b－4c,2c)＝)116,112,112(．用心爱心专心∴222226211||11111111BM�故点B到平面EFG的距离为11112．说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了．例2已知正方体ABCD－''''ABCD的棱长为1，求直线'DA与AC的距离．分析：设异面直线'DA、AC的公垂线是直线l，则线段'AA在直线l上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解．解：如图，设''ABi，''CBj，BB'k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系'B－xyz，则有'(1,0,0)A，(1,1,1)D，(1,0,1)A，(0,1,1)C．∴'(0,1,1)DA�，(1,1,0)AC�，'(0,0,1)AA�．设n(,,)xyz是直线l方向上的单位向量，则2221xyz．∵n'DA，nAC，∴100222zyxyxzy，解得33zyx或33xyz．取n333(,,)333，则向量AA'在直线l上的投影为n·AA')33,33,33(·)1,0,0(33．由两个向量的数量积的几何意义知，直线'DA与AC的距离为33．用心爱心专心
