双曲线的几何性质（1）教学目标（1）了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等；（2）能根据双曲线的标准方程求双曲线的实轴、虚轴、离心率等问题；（3）能根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程；（4）掌握之间的关系及相应的几何意义．教学重点，难点双曲线的几个简单几何性质．教学过程一．问题情境1．情境：在建立了双曲线的标准方程之后，可以通过方程来研究双曲线的几何性质．2．问题：双曲线有哪些性质？三．建构数学1．范围由双曲线方程，可得，即或．这表明双曲线在不等式与所表示的平面区域内．思考：你能发现双曲线的范围还受到怎样的限制？由双曲线方程可知，即，从而或所以双曲线还应在上面两个不等式组表示的平面区域内，也就是以直线和为边界的平面区域内．2．对称性用心爱心专心116号编辑在双曲线的标准方程中，双曲线关于轴、轴和原点都是对称的．所以坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心．双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．3．顶点双曲线与轴的两个交点，称为双曲线的顶点．记．则线段叫做双曲线的实轴，它的长等于，叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于，叫做双曲线的虚半轴长．4．渐近线我们已经知道，双曲线的范围在以直线和为边界的平面区域内，那么，从的变化趋势看，双曲线与直线具有怎样的关系？根据对称性，可以研究双曲线在第一象限的部分与直线的关系．如图，设为双曲线在第一象限的点，作轴，垂足为．直线交直线于点．当向右移动时，观察长度的变化．我们发现，随着的增大，长度越来越接近于．事实上，对于相同的横坐标，直线上对应的点的纵坐标为，所以长为=，当趋向于正无穷大时，也趋向于正无穷大，趋向于．这说明，随着的增大，双曲线在第一象限内的点在直线的下方且逐渐接近于这条直线．同理，在第三象限内，双曲线上的点在直线的上方且逐渐接近于这条直线．用心爱心专心116号编辑根据对称性，直线也有相同的性质．我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．说明：（1）利用直线和所围成的矩形，可以方便地作出双曲线的渐近线，从而可以画出双曲线的草图．（2）当双曲线的实轴长和虚轴长相等时，两条渐近线互相垂直，我们把这样的双曲线叫做等轴双曲线．5．离心率：实轴长与焦距的比叫做双曲线的离心率，记为．由可得．四．数学运用1．例题：例1．求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率及渐近线方程．解由题意知，所以，解得．因此，双曲线的实轴长，虚轴长．焦点坐标为，顶点坐标为，．离心率．渐近线方程为．例2．已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，离心率为，求双曲线的方程．解根据题意知，，，解得则．因为双曲线的中心在原点，焦点在轴上，所以所求双曲线方程为．例3．如图，是双曲线的实半轴，是虚半轴，为焦点，且，用心爱心专心116号编辑ABFxy0，求该双曲线的方程．解因为，所以．因为，所以，所求双曲线方程为．五．回顾小结：1．根据双曲线的标准方程求双曲线的实轴、虚轴、焦点、顶点、渐近线和离心率等问题；2．根据双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程．3．之间的关系及相应的几何意义．用心爱心专心116号编辑
