微专题三立体几何中的实际应用问题例1(2018·南通、泰州模拟)如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的，已知正六棱柱的底面边长、高都为4cm，圆柱的底面积为9cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6cm的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm.(不计损耗)答案2解析由题意知，铜质六角螺帽毛坯的体积V＝×4＝60(cm3)．设正三棱柱的底面边长为acm，则×a2×sin60°×6＝60，解得a＝2，所以正三棱柱的底面边长为2cm.例2如图，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切．将球取出后，容器内的水深是多少？解铁球取出后，容器内水的体积不变，设球被取出后容器内水深为h， △ABC为正三角形，O为△ABC的中心，∴AO1＝3OM＝3r，注水后圆锥的底面半径O1C＝×3r， 球取出后的水深为h，则此时圆锥底面半径为h.∴球的体积与球被取出后圆锥的体积之和等于注水后圆锥的体积，即πr3＋π·2·h＝π2·3r，解得h＝r.∴球取出后，容器内的水深为r.例3现需要设计一个仓库，它由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．(1)若AB＝6m，PO1＝2m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解(1)由PO1＝2知，O1O＝4PO1＝8.因为A1B1＝AB＝6，所以正四棱锥P－A1B1C1D1的体积V锥＝·A1B·PO1＝×62×2＝24(m3)；正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．(2)设A1B1＝am，PO1＝hm，则00，V是单调增函数；当20，h＝>0，得00，所以V(r)在(0,6)上单调递增；当6
