第四节数列求和基础知识梳理1．公式法求和(1)直接由等差、等比数列的求和公式求和．(2)掌握一些常见数列前n项和1＋2＋3＋…＋n＝.1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝.12＋22＋32＋…＋n2＝.13＋23＋33＋…＋n3＝.n2n(n＋1)2n(n＋1)(2n＋1)6[n(n＋1)2]2基础知识梳理2．错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是和.等差数列等比数列基础知识梳理3．倒序相加法将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和，它是求和公式的推广．等差数列基础知识梳理4．分组转化法有一类数列，既不是等差，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即能分别求和，然后再合并．基础知识梳理5．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项；常见的拆项公式有：(1).(2)．(3).1(2n－1)(2n＋1)＝1n＋k＋n＝1n(n＋1)＝1n－1n＋112(12n－1－12n＋1)n＋k－nk基础知识梳理裂项相消时的注意事项有哪些？【思考·提示】裂项相消时，如1(2n－1)(2n＋1)＝12(12n－1－12n＋1)，裂项时注意等价性，相消时，消掉了哪些项要特别查清．三基能力强化答案：n6n＋41．数列12·5，15·8，18·11，…，1(3n－1)·(3n＋2)，…的前n项和为________．三基能力强化答案：62．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－12n，其前n项和Sn＝32164，则项数n＝________.三基能力强化3．数列{(－1)n·n}的前2010项的和S2010＝________.答案：1005三基能力强化4．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2且an＋2－an＝1＋(－1)n(nN∈*)，则S100＝________.答案：2600三基能力强化5．(2010年济南市高三模拟)等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝9，a3＋a6＋a9＝3，则{an}的前9项的和S9＝________.答案：18解析：由已知得：(a1＋a9)＋(a4＋a6)＋(a3＋a7)＝3(a1＋a9)＝12，故有a1＋a9＝4，则S9＝9(a1＋a9)2＝9×42＝18.课堂互动讲练用乘公比错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和．错位相减法求和考点一课堂互动讲练例例11(2009年高考山东卷)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝n＋14an(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.课堂互动讲练【思路点拨】(1)把点(n，Sn)代入函数解析式，得Sn，利用an＝Sn－Sn－1，求通项an，利用基本运算关系可求r；(2)bn的结构符合错位相减法求前n项和．课堂互动讲练【解】(1)由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)．由于b＞0且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列，又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，a2a1＝b，即b(b－1)b＋r＝b，解得r＝－1.(2)由(1)知，n∈N*，an＝(b－1)bn－1＝2n－1，所以bn＝n＋14×2n－1＝n＋12n＋1.课堂互动讲练Tn＝222＋323＋424＋…＋n＋12n＋1，12Tn＝223＋324＋…＋n2n＋1＋n＋12n＋2，两式相减得12Tn＝222＋123＋124＋…＋12n＋1－n＋12n＋2＝12＋123×(1－12n－1)1－12－n＋12n＋2＝34－12n＋1－n＋12n＋2，故Tn＝32－12n－n＋12n＋1＝32－n＋32n＋1.课堂互动讲练【点评】错位相减法的运用并不困难，其难点是运算的结果不易计算正确，最后的结果，往往显得繁琐，因而整理化简过程中要格外细心．课堂互动讲练跟踪训练跟踪训练1．(2010年山东省青岛市高三模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝2×3n＋k(kR∈，nN∈*)(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足an＝4(5＋k)anbn，Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn.解：(1)由Sn＝2·3n＋k得：n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4×3n－1， {an}是等比数列，∴a1＝S1＝6＋k＝4，∴k＝－2，所以an＝4×3n－1(nN∈*)．课...
