第一章三角函数4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质、4.4单位圆的对称性与诱导公式训练案知能提升新人教A版必修4[A.基础达标]1．如果sin(π＋α)＝－，则cos＝()A．－B．C．－D．解析：选A.因为－＝sin(π＋α)＝－sinα，所以sinα＝，所以cos＝－sinα＝－.下列三角函数中，与sin数值相同的是()①sin；②cos；③sin；④cos；⑤sin(n∈Z)．A．①②B．①②③C．②③⑤D．①③⑤解析：选C.①中n为偶数时，sin＝－sin；②中cos＝cos＝sin；③中sin＝sin；④中cos＝－cos＝－sin；⑤中sin＝sin＝sin.故②③⑤正确．3．已知sin＝，那么cosα＝()A．－B．－C.D．解析：选C.sin＝cosα，故cosα＝，故选C.4．已知600°角的终边上有点P(a，－3)，则a的值为()A.B．－C.D．－解析：选B.cos600°＝cos(360°＋240°)＝cos240°＝cos(180°＋60°)＝－cos60°＝－，而cos600°＝，所以＝－，所以a＜0.解得a＝－.cos＝()A.B．C．－D．－解析：选C.cos＝cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－.已知sin＝，则cos＝________．解析：因为＋＝，所以cos＝cos＝sin＝.答案：7．化简的值等于________．解析：原式＝＝＝＝＝－＝－.答案：－计算：cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＝________．解析：原式＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝0.答案：0化简cos(nπ＋x)＋cos(nπ－x)(n∈Z)．解：当n为奇数时，设n＝2k＋1(k∈Z)，原式＝cos[(2k＋1)π＋x]＋cos[(2k＋1)π－x]＝cos(π＋x)＋cos(π－x)＝－cosx－cosx＝－2cosx；当n为偶数时，设n＝2k(k∈Z)，原式＝cos(2kπ＋x)＋cos(2kπ－x)＝cosx＋cos(－x)＝2cosx，故原式＝1计算下列各式的值：(1)cos＋cos＋cos＋cos；(2)sin420°cos330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝＋＝＋＝＋＝0.(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)·cos(－2×360°＋60°)＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＝×＋×＝1.[B.能力提升]1．在△ABC中，若sin(A＋B－C)＝sin(A－B＋C)，则△ABC必是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形解析：选C.因为sin(A＋B－C)＝sin(A－B＋C)，所以sin(π－2C)＝sin(π－2B)，即sin2C＝sin2B，所以2C＝2B或2C＝π－2B，即C＝B或C＋B＝，所以△ABC是等腰或直角三角形．2．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝()A.B．C．0D．－解析：选A.因为f(x＋π)＝f(x)＋sinx，所以f(x＋2π)＝f(x＋π)－sinx.所以f(x＋2π)＝f(x)＋sinx－sinx＝f(x)．所以f(x)是以2π为周期的周期函数．又f＝f＝f，f＝f＋sin，所以f＝f－.因为当0≤x<π时，f(x)＝0，所以f＝0，所以f＝f＝.故选A.3．若α是三角形的一个内角，且cos＝－cos，则α＝________．解析：因为cos＝－sinα＝－，所以sinα＝.又因为α是三角形的一个内角，所以α＝或.答案：或4．若函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2014)＝2，则f(2015)＝________．解析：因为f(2014)＝asin(2014π＋α)＋bcos(2014π＋β)＝2，所以f(2015)＝asin(2015π＋α)＋bcos(2015π＋β)＝asin[π＋(2014π＋α)]＋bcos[π＋(2014π＋β)]＝－[asin(2014π＋α)＋bcos(2014π＋β)]＝－2.答案：－25．已知f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若α为第四象限角且sin＝，求f(α)的值；(3)若α＝－π，求f(α)．解：(1)f(α)＝＝－cosα.(2)因为sin＝sin＝cosα＝，所以f(α)＝－cosα＝－.(3)f＝－cos＝－cos＝－cosπ＝－cos＝－.6．(选做题)已知f(k)＝sin，k∈Z.(1)求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝f(9)＋f(10)＋…＋f(16)；(2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2015)的值．解：(1)证明：因为sin＝sin＝sin(k∈Z)，所以f(k)＝f(k＋8)，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝f(9)＋f(10)＋…＋f(16)．(2)由(1)可知f(k)是以8为一个周期的周期函数，而2015＝251×8＋7，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2015)＝251[f(1)＋f(2)＋…＋f(8)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)．又因为f(1)＋f(2)＋…＋f(8)2＝sin＋sin＋…＋sin＝0，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2015)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝sin＋sin＋sin＋sin＋sin＋sin＋sin＝sin＋sin＋sin＋sinπ－sin－sin－sin＝sinπ＝0.3
