双基限时练(二十)1．已知|a|＝6，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a·b等于()A．6＋B．6－C．6D．7解析a·b＝|a||b|cos60°＝6×2×cos60°＝6.答案C2．已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝－4，则向量a与b的夹角为()A．30°B．60°C．150°D．120°解析cosθ＝＝＝－，∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°，故选D.答案D3．已知|b|＝3，a在b方向上的投影为，则a·b＝()A．3B.C．2D.解析由题意，得|a|cos〈a，b〉＝，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×＝.答案B4．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝()A．0B．2C．4D．8解析|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，∴|2a－b|＝2.答案B5．若非零向量a与b的夹角为，|b|＝4，(a＋2b)·(a－b)＝－32，则向量a的模为()A．2B．4C．6D．12解析(a＋2b)·(a－b)＝a2＋2a·b－a·b－2b2＝a2＋a·b－2b2＝－32，又a·b＝|a||b|cos＝|a|×4×＝－2|a|，∴|a|2－2|a|－2×42＝－32.∴|a|＝2，或|a|＝0(舍去)．答案A6．在△ABC中，若AB2＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB，则△ABC是()A．等边三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形解析因为AB2＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB＝AB·(AC－BC)＋CA·CB＝AB·AB＋CA·CB，所以CA·CB＝0，即CA⊥CB，所以三角形为直角三角形，选D.答案D7．若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，则b＝________.解析设b＝(x，y)，则∴x2＝9.∴x＝±3，又a＝(－1,2)与b方向相反．1∴b＝(3，－6)．答案(3，－6)8．设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．若a与b的夹角为60°，则k＝________.解析由|ka＋b|＝|a－kb|，得k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，即(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.∵|a|＝1，|b|＝1，a·b＝1×1cos60°＝，∴k2－2k＋1＝0，∴k＝1.答案19．若向量a，b满足|a|＝，|b|＝1，a·(a＋b)＝1，则向量a，b的夹角的大小为________．解析∵|a|＝，a·(a＋b)＝1，∴a2＋a·b＝2＋a·b＝1.∴a·b＝－1.设a，b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－，又θ∈[0，π]，∴θ＝.答案10．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE＝1，则AB的长为________．解析因为BE＝BA＋AD＋DE＝－AB＋AD＋AB＝AD－AB，所以AC·BE＝(AB＋AD)·＝AD2＋AD·AB－AB2＝1＋×1×|AB|cos60°－|AB|2＝1，所以|AB|－|AB|2＝0，解得|AB|＝.答案11．在△ABC中，|BC|＝4，|CA|＝9，∠ACB＝30°，求BC·CA.解如图所示，BC与CA所成的角为∠ACB的补角即150°，又因为|BC|＝4，|CA|＝9，2所以BC·CA＝|BC|·|CA|cos150°＝4×9×＝－18.12．已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求：(1)a与b的夹角；(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．解(1)∵(a－b)·(a＋b)＝，∴|a|2－|b|2＝.∵|a|＝1，∴|b|＝＝.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.(2)∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝，∴|a－b|＝.∵(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝，∴|a＋b|＝.设a－b与a＋b的夹角为α，则cosα＝＝＝.13．已知a，b是两个非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取得最小值时．(1)求t的值(用a，b表示)；(2)求证：b与a＋tb垂直．(1)解|a＋tb|2＝a2＋t2b2＋2ta·b＝b22＋a2－.当t＝－时，|a＋tb|取最小值．(2)证明(a＋tb)·b＝a·b＋tb2＝a·b－×b2＝0，所以a＋tb与b垂直．3
