高中数学函数中“至少”型问题解题策略 学法指导VIP专享VIP免费

高中数学函数中“至少”型问题解题策略门德荣对函数中“至少”问题的解题策略，本文介绍8种，供参考。一、利用函数思想例1.当方程至少有一个实根小于时，求实数a的取值范围。分析：按常规解法，需分为三类讨论：①方程有一个实根小于，另一个实根大于；②两个实根都小于；③有一个实根为，另一实根为，然后综合取并集。若能反客为主，用函数思想求解，则可回避讨论。解：由方程，知，故原方程可化为：即等价于当时，求函数的值域。因为，所以。当，即时，等号成立。故a的取值范围为。二.数形结合法例2.已知函数，其中，若方程至少有一个实数根，，求的最小值。分析：此题若用代数方法求解，需分类讨论，容易出错。若能将数量关系与图形的性质相结合求解，则非常方便。构造直线：，由题设知，此直线与圆（a、b为变量）必有公共点，因此，圆心到直线的距离小于（或等于）半径，则。当且仅当时等号成立，代入方程得故当时，。三、判别式法例3.已知函数，其中，若a、b是可使方程至少有一实根的实数，求的最小值。解：由，得。因为，所以，即。由①用心爱心专心115号编辑得。依题设知，①中至少有一个实根的绝对值大于等于2。所以，即②（1）当时，由②得。若，则。即当时，的最小值为。经检验，此时a、b的值满足不等式。若，则。（2）当时，。综上知，当，时，有最小值。注：此题应用判别式法与数形结合法相比，繁琐得多，可见数形结合法的优越性。四、变更主元法例4.已知方程中的a为负整数，试求出那些能使此方程的解x至少有一个为整数时a的值。解：有些同学在解决这一问题时，由于定势影响，抓住关于x的二次方程不放，先求出根的表达式：，然后据此讨论，a为何负整数时，x取整数。这是十分繁难的。现在我们变更主元，将原方程变成关于a的一次方程。于是问题归结为，x为整数时，求上述方程的整数根。时，。由于时，恒成立，因此，要使a为负整数，必须所以，解得：且。x的允许值为：2、3、4、5、6、7。将它们分别代入，知使a为负整数的x值为2、3，此时对应的a值为、。故a为、时，原方程至少有一个整数解。五、利用集合思想例5.若二次函数在区间内至少存在一点c，使，求实数p的取值范围。解法1：（补集法）令即用心爱心专心115号编辑，即所以，所以符合题意的解是。解法2：（直接法）依题意有，即。所以。注：两种解法都涉及解不等式，但一是求交集，另一是求并集，要认真理解其中的涵义。六、分类讨论法例6.已知二次函数的图像与x轴的两个交点中至少有一个在x轴的负半轴上，求m的范围。解：先由两交点确定m范围。即解得①对根分类：两根至少有一根为负，共有三种情形：（1）二根皆负：（2）一正一负；（3）一负一零。满足（1）一根皆负，须：解得，结合①得，；（2）一正一负，须：解得：。（3）两根一负一零：无解。综上，。七、构造图像法例7.已知，设，则中至少有一个不小于。分析：的图像形状不同，位置相同。观察的图像，当时，，把的图像平移，使其顶点落在，图像表示一个新的二次函数，这时，当时，，图像在区间上的一段正好对称地落在和围成的矩形内（如图1）所示。观察图形，发现此时的二次函数具有题中要证明的性质，这时无论把这个图像如何平移，都会破坏上述对称性，使图像上各点与或2或3所对应的点中至少有一个平移到用心爱心专心115号编辑的区域里，从而使、、中至少有一个大于。这就给我们以启发，即图像上的点（2，）是一个关键点，，3关于2是对称的，利用这一特性，可以得到一个简捷的证明，证明留给读者完成。八、利用反证法例8.设（1）时，证明单调递减；（2）时，在定义域范围内至少存在一个x，使得。证明：（1）。当时，抛物线顶点的横坐标。所以在定义域上单调递减。（2）（反证法）假设不存在使得，由（1）知必须有。所以与题设矛盾，故假设不成立。即当时，在定义域（）内至少存在一个x，使得。用心爱心专心115号编辑