第二章推理与证明2.3数学归纳法[A级基础巩固]一、选择题1．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2B．3C．5D．6解析：当n取1、2、3、4时2n＞n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32＞52＋1＝26，第一个能使2n＞n2＋1的n值为5.答案：C2．用数学归纳法证明某命题时，左式为＋cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α(α≠kπ，k∈Z，n∈N*)，在验证n＝1时，左边所得的代数式为()A.B.＋cosαC.＋cosα＋cos3αD.＋cosα＋cos3α＋cos5α解析：令n＝1，左式＝＋cosα.答案：B3．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋()A.B．πC.D．2π解析：由凸k边形变成凸k＋1边形时，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.答案：B4．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳递推应写成()A．假设n＝2k＋1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋3时正确B．假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋1时正确C．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋1时正确D．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋2时正确解析：因为n为正奇数，所以在证明时，归纳递推应写成：假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推出n＝2k＋1时正确．故选B.答案：B5．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立，现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有()A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都不正确解析：由已知可得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立，在n＝n0＋1时命题成立的前提下，可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立．以此类推可知命题对大于或等于n0的正整数都成立，但命题对小于x0的正整数成立与否不能确定．答案：C1二、填空题6．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＝p(n)”从n＝k推导n＝k＋1时原等式的左边应增加的项数是________．解析：观察不等式左边的分母可知，由n＝k到n＝k＋1左边多出了＋＋…＋共2k＋1－2k项．答案：2k＋1－2k7．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立．上述证明的错误是________．解析：本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．答案：未用归纳假设8．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为________．解析：当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2.答案：25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2三、解答题9．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝.证明：(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝等式成立．(2)假设n＝k时，等式成立，即＋＋＋…＋＝成立．当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝.所以n＝k＋1时，等式成立．由(1)、(2)可得对一切n∈N*，等式成立．10．求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．证明：(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋＝>，不等式成立．(2)假设当n＝k(n≥2，n∈N*)时命题成立，即＋＋…＋>.那么当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋>＋>＋＝.所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)和(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*都成立．B级能力提升1．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋对一切n∈N*都成立，那么a，b的值为()A．a＝，b＝B．a＝b＝2C．a＝0，b＝D．a＝，b＝解析：因为1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋对一切n∈N*都成立，所以当n＝1，2时有即解得答案：A2．用数学归纳法证明“当n∈N*时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为____________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是____________．解析：当n＝1时，原式应加到25×1－...
